Для мальтузианской модели 
, поэтому тот график темпов роста представляет собой горизонтальную линию и снижения 
по мере увеличения 
не происходит. С другой стороны, наклонная линия рисунка 1.1 улучшенной модели приводит к формуле 
, для некоторых 
и 
. В конечном итоге закономерность проявится яснее если записать уравнение прямой как 
, где 
абсцисса точки пересечения горизонтальный оси, 
ордината пересечения вертикальной. Заметим, что и должны быть положительными. Через алгебраические выкладки получим новое разностное уравнение 
. Эта модель обычно называется «дискретной логистической моделью» или «дискретным логистическим уравнением», хотя, к сожалению, многие модели называются также.
Параметры и в этой модели имеют физические и биологические интерпретации. Во-первых, если 
, то 
. При положительных темпах роста на душу населения население будет увеличиваться. С другой стороны, если 
, то 
. При отрицательных темпах роста на душу населения численность населения будет сокращаться. Поэтому называют несущей способностью окружающей среды, потому что она представляет собой максимальное количество особей, которые могут поддерживаться в течение длительного периода. Однако, когда население незначительно (т.е. намного меньше, чем ), множитель 
устремляется в 1. Поэтому для малых значений модель аппроксимируется приближенными значениями 
.
Другими словами, играет роль 
, в вышеописанной линейной модели. Параметр просто отражает то, как популяция будет расти или уменьшаться в отсутствие факторов, зависящих от плотности, когда численность намного ниже предельного значения. Как правило называют конечной внутренней скоростью роста. Термин «внутренний» относится к отсутствию внешнего воздействия, зависящего от плотности, а термин «конечный» подчеркивает тот факту, что используются временные шаги конечного размера, а не бесконечно малые временные шаги дифференциального уравнения.
Вопросы для самопроверки:
Какие значения можно ожидать от и в случае, когда захотите смоделировать численность ежегодно поступающих на физико-математические факультеты омских ВУЗов?
Как вы увидите в задачах ниже, существует много способов, которыми разные авторы формируют логистические модели, в зависимости от того, смотрят ли на 
или 
, используют ли различные множители. Ключевым моментом, который поможет распознать нелинейную модель, является то, что и , и выражаются как квадратные трехчлены от 
. Кроме того, эти многочлены не имеют свободного члена (т.е. члена нулевой степени). Таким образом, логистическая модель является простейшей нелинейной моделью, которую можно придумать. Как и в случае с линейной моделью, первым шагом в понимании этой модели является выбор некоторых конкретных значений для параметров и , а также для начальной численности 
и вычисление следующих значений . Например, выбирая и так, что 
и 
, получаем таблицу 1.5.
Таблица 1.5. Популяционные значения из нелинейной модели
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.0117 3.2972 5.0653 7.0650 8.7238 9.6145 9.9110 9.9816 9.9963 9.9993 9.9999
Вопросы для самопроверки:
Какой смысл могут иметь популяции, значения которых не являются целыми числами?
Если измерять размер популяции в единицах, таких как тысячи или миллионы особей, то нет никаких оснований для того, чтобы популяции были целыми числами. Для некоторых видов, таких как коммерчески ценные рыбы, может быть даже целесообразно использовать единицы массы или веса, такие как тонны.
Другая причина, по которой нецелочисленные значения популяции не вызывают опасения, даже если используем поштучные единицы измерения, заключается в том, что пытаемся лишь приблизительно описать размер популяции. Нет ожидания того, что модель даст точные прогнозы. Пока числа невелики, можно просто игнорировать дробные части без значительных потерь.