Рис. 11. Свободно опертая балка.
Ответ на этот вопрос дает так называемая теория балок, которую, пожалуй, можноназвать становым хребтом техники. Но, к сожалению, этот "хребет" представляетсобой pons asinorum для студентов технических вузов.Большинство из них механически заучивают формулы теории балок лишь для того,чтобы проскочить на экзаменах; понимать эти формулы они начинают гораздо позже,когда настает время мучаться над собственными проектами. Поэтому давайте покаоставим всю эту кухню интегрирования эпюр и попытаемся подступиться к существупроблемы.
Начнем с того, что вспомним высказанную ранее мысль об отсутствии четкогоразличия между понятиями "материал" и "конструкция". Большие балки, напримерперекрытия железнодорожных мостов, подобно детскому конструктору, собираютсяиз многих малых стержней. Эти стержни работают как на растяжение, так ина сжатие. Способ передачи нагрузки в такой решетчатой балке, или ферме,по существу не отличается от того, как передается нагрузка в сплошной балке,даже такой, как половая доска. В решетчатой балке вся нагрузка передаетсятолько путем сжатия и растяжения стержней. В сплошной балке такой решеткинет, но мы можем представить себе ее как бы прошивающей всю балку.
Для определенности начнем анализ с консольной балки, то есть с балки,один конец которой встроен в стену или жестко закреплен каким-либо другимспособом на любом основании (на языке инженеров это называется "заделка"):к другому концу консоли приложена нагрузка. Такую консоль рисовал еще Галилей(рис. 12); правда, он неверно рассчитал прочность своей консоли, что, впрочем,ему простительно. Мы же построим нашу консоль только из стержней и натянутыхструн.
Рис. 12. Рисунок Галилея, иллюстрирующий испытания консольной балки.
Рассмотрим простую конструкцию типа крана, изображенную на рис. 13, а.Сжатый стержень 2 опирается на стену и поддерживается струной 1,таким образом он может воспринимать внешнюю нагрузку (назовем ее W).Очевидно, сила, противодействующая нагрузке W, возникает вследствиесжатия наклонного стержня 2. Натяжение горизонтальной струны 1лишь предохраняет сжатый стержень 2 от поворота и падения.
С таким же успехом мы можем воспользоваться другой треугольной конструкцией(рис. 13, б), в которой сжатый стержень 4 занимает горизонтальноеположение и удерживается от падения наклонной растянутой струной 3.В этом случае сила, удерживающая вес W, обеспечивается струной,а горизонтальный сжатый стержень необходим лишь для того, чтобы струнане прижималась к стене.
Обе эти конструкции одинаково хороши, и мы можем объединить их в одну,способную выдержать вес 2W, как показано на рис. 13, в. Ясно, чтонагрузка 2W непосредственно воспринимается наклонными элементами 2 и3, один из которых сжат, а другой растянут. Горизонтальные элементы 1 и4 воздействуют на стену, один из них давит, другой - тянет, вместе ониобеспечивают целостность конструкции, но не поддерживают вес грузанепосредственно.
Рис. 13. Сопоставление напряженного состоянияв сплошной балке и решетчатой ферме.
Пристроив к полученной конструкции еще одну, точно такую же, мы получим новуюферму, показанную на рис. 13, г. В этом случае тот же самый груз 2Wподдерживается сжатыми и растянутыми наклонными элементами 2, 3, 6 и7, в то время как элементы 1, 5, 4 и 8 сжаты и растянуты вгоризонтальном направлении и, хотя они не поддерживают внешнюю нагрузкунепосредственно, благодаря им ферма не рушится. Получается, что каждый элементвыполняет свою функцию и, если хотя бы один стержень или одна струна выйдет изстроя, катастрофа неизбежна: каждый элемент по-своему важен.
Теперь посмотрим, как передается в нашей ферме нагрузка от элемента к элементу.Правая ячейка на рис. 13, г работает точно так же, как единственная ячейка нарис. 13, в. Однако в левой (внутренней) ячейке на рис. 13, г делообстоит иначе. Растягивающее напряжение в струне 1 вдвое больше напряженияв струне 5, а сжатие в стержне 4 в два раза превышает сжатие в стержне8. Это происходит потому, что диагональные элементы (назовем их"сдвиговыми") добавляют нагрузку на элементы, расположенные по направлению кместу заделки консоли. Однако во всех сдвиговых элементах независимо от длиныфермы нагрузка одинакова.
Мы можем продолжать нашу ферму, пристраивая к ней все новые и новыеячейки, как это показано на рис. 13, д. Внимательно посмотрев нарисунок, мы поймем, что и здесь напряжения во всех диагональных элементаходинаковы. С другой стороны, напряжения сжатия и растяжения в нижних иверхних горизонтальных элементах от ячейки к ячейке возрастают (если двигатьсяот точки приложения нагрузки к месту заделки консоли). Нетрудно доказать,что это возрастание напряжения пропорционально номеру элемента (опять-такисчитая от точки нагружения). Именно поэтому консоль всегда ломается в местезаделки, у стены, где возникают наибольшие напряжения, если, конечно, заранеене позаботиться о ее прочности и не подобрать все стержни соответственнодействующей нагрузке. Если такой подбор сделан строго пропорционально нагрузке,то ферма становится равнопрочной, то есть может сломаться в любом месте,а это идеальный случай, составляющий цель многих расчетов на прочность.Совершенно ясно, почему мы хотим, чтобы материал был напряжен во всех точкаходинаково; в этом случае материал используется с максимальной эффективностью,а конструкция имеет минимальный вес.
Если теперь мы преобразуем нашу ферму или балочку, построенную из детскогоконструктора, в сплошную балку, то получим систему напряжений, изображеннуюна рис. 13, е. В средней по высоте части балки под углом 45° к осидействуют главным образом сдвиговые напряжения, неизменные по длине балки.Материал верхней и нижней частей балки нагружен в основном растяжениеми сжатием. Горизонтальные напряжения растяжения-сжатия быстро возрастаютпо длине балки и в наиболее опасном сечении становятся намного больше сдвиговыхнапряжений. Именно эти напряжения обычно повинны в разрушениях балочныхконструкций и тяжелых несчастных случаях, которые за ними следуют. Вотпочему вычисления, связанные с расчетом напряжений, - это совсем не сухиеакадемические упражнения, интересные только специалистам, они прямо связаныс безопасностью и благополучием большинства из нас.
Если вся эта охота за напряжениями покажется читателю несколько непонятной,лучше всего сделать модель из детского конструктора или из соломинок длякоктейлей, скрепляя их обыкновенными булавками. Поразмыслив над такой моделью,вы поймете, что представляет собой консоль вообще и как она выдерживаетнагрузку. Конечно, сколь сложным бы ни было напряженное состояние, мы должныотдавать себе отчет в том, что любое напряжение связано с деформацией,поэтому консоль неизбежно должна в большей или меньшей степени прогибатьсяпод нагрузкой (рис. 13, ж).
Консоли широко распространены в технике, но еще чаще используются обычныебалки, вроде тех, которые принято называть "свободно опертыми" (рис. 14).Примером такой балки может служить доска, переброшенная через канаву илиручей. Как же такая балка соотносится с консольной? Наглядный ответ наэтот вопрос дает рис. 14. Дело в том, что свободно опертую балку можнорассматривать как две консоли, жестко связанные друг с другом в местахзаделки и перевернутые на 180°. В то время какнаибольшее напряжение в консоли возникает в месте ее заделки, в нашей новойбалке оно будет в центре. Поэтому такие балки обычно ломаются пополам.