Первая часть рассуждения представляет собой строгую дизъюнкцию этих трех высказываний (а ⊻ в ⊻ с). Вторая часть рассуждения является отрицанием второго (¬в) и третьего (¬с) высказываний, причем эти два отрицания соединяются, т. е. связаны конъюнктивно (¬ в ∧ ¬с). Эта конъюнкция отрицаний присоединяется к упомянутой выше строгой дизъюнкции трех простых суждений ((а ⋁ в ⋁ с) ∧ (¬ в ∧ ¬с)), и уже из этой новой конъюнкции в качестве следствия вытекает утверждение первого простого суждения (Он учится в 9 классе). Логическое следование, как мы уже знаем, представляет собой импликацию. Таким образом, результат формализации нашего рассуждения в итоге выражается формулой: ((а ⋁ в ⋁ с) ∧ (¬ в ∧ ¬с)) → а. Понятно, что перед нами логическая форма, которую можно наполнить любым содержанием. Например: Впервые человек полетел в космос в 1957 году или в 1959 году, или в 1961 году; Однако, известно, что впервые человек полетел в космос не в 1957 году и не в 1959 году; Следовательно впервые человек полетел в космос в 1961 году. Еще один вариант: Философский трактат "Критика чистого разума" написал то ли Иммануил Кант, то ли Георг Гегель, то ли Карл Маркс; Однако, ни Гегель, ни Маркс не являются авторами этого трактата; Следовательно, его написал Кант.
2. 13. Логические формулы и таблицы истинности
Результатом формализации любого высказывания или рассуждения является какая-либо формула, состоящая из маленьких букв латинского алфавита, выражающих входящие в рассуждение простые высказывания, и условных обозначений логических связей между ними (конъюнкции, дизъюнкции и др.). Все формулы делятся в логике на три вида.
Тождественно-истинные формулы являются истинными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных (т. е. простых суждений). Любая тождественно-истинная формула представляет собой логический закон.
Тождественно-ложные формулы являются ложными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных. Тождественно-ложные формулы представляют собой отрицание тождественно-истинных формул и являются нарушением логических законов.
Выполнимые или нейтральные формулы при различных наборах истинностных значений входящих в них переменных являются то истинными, то ложными.
Если в результате формализации какого-либо рассуждения получается тождественно-истинная формула, то такое рассуждение является логически верным, или правильным. Причем его правильность будет не случайной, а закономерной, т. к. построение рассуждения в соответствии с тождественно-истинной формулой гарантирует его логическую верность независимо от его содержания, т. е. от того, о чем идет в нем речь. Если же результатом формализации будет тождественно-ложная формула, то рассуждение следует признать логически противоречивым (и, конечно же, неверным, или неправильным). Причем его неправильность будет не случайной, а закономерной, т. к. построение рассуждения в соответствии с тождественно-ложной формулой обусловливает его ошибочность, или логическую неверность независимо от его содержания. Выполнимая или нейтральная формула также свидетельствует о логической неверности того рассуждения, формализацией которого она является. На первый взгляд это может показаться странным, однако дело здесь заключается в том, что рассуждение, построенное в соответствии с выполнимой формулой может приводить как к истинным, так и к ложным выводам в зависимости от его содержания, т. е. от того, о чем будет идти в нем речь. Если выводы рассуждения, построенного в соответствии с выполнимой формулой окажутся истинными, то их истинность будет случайной, а не закономерной: при другом содержании рассуждения его выводы могут быть ложными. Иначе говоря, выполнимые формулы не гарантируют истинность выводов и, соответственно, логическую правильность тех рассуждений (независимо от их содержания), формализацией которых они являются. Поэтому, рассуждения, формой которых выступают выполнимые формулы, следует признать логически неправильными.
Для того, чтобы определить, к какому виду относится та или иная формула и, соответственно, оценить логическую верность какого-то рассуждения, надо, как правило, составить специальную таблицу истинности для этой формулы.
Рассмотрим следующее рассуждение: Владимир Маяковский родился в 1891 году или в 1893 году; Однако известно, что он родился не в 1891 году; Следовательно он родился в 1893 году. Формализуя это рассуждение, выделим входящие в него простые высказывания:
1. Владимир Маяковский родился в 1891 году;
2. Владимир Маяковский родился в 1893 году.
Первая часть нашего рассуждения, несомненно, представляет собой строгую дизъюнкцию этих двух простых высказываний (а ⋁ в). Далее к этой дизъюнкции присоединяется отрицание первого простого высказывания, и получается конъюнкция ((а ⋁ в) ∧ а). И наконец из этой конъюнкции вытекает утверждение второго простого суждения, и получается импликация (((а ⊻ в) ∧ а) → в), которая и является результатом формализации данного рассуждения. Теперь надо составить таблицу истинности для получившейся формулы.
Количество строк в таблице определяется по правилу 2, где n – количество переменных (простых высказываний) в формуле. Поскольку в нашей формуле только две переменных (а и в), то в таблице должно быть четыре строки (не считая, конечно же, верхнюю строчку, которая является так называемой "шапкой" таблицы). Количество колонок в таблице равно сумме числа переменных и числа логических союзов, входящих в формулу. В рассматриваемой формуле две переменных (а и в) и четыре логических союза (⊻, ∧, ¬, →), т. е. в таблице должно быть шесть колонок.
Первые две колонки представляют собой все возможные наборы истинностных значений переменных (таких наборов всего четыре: обе переменные истинны; первая переменная истинна, а вторая ложна; первая переменная ложна, а вторая истинна; обе переменные ложны).
Третья колонка – это истинностные значения строгой дизъюнкции (а ⊻ в), которые она принимает в зависимости от всех (четырех) наборов истинностных значений переменных.
Четвертая колонка – это истинностные значения отрицания первого простого высказывания (¬а).
Пятая колонка – это истинностные значения конъюнкции, состоящей из вышеуказанной строгой дизъюнкции и отрицания ((а ⊻ в) ∧ ¬а), и наконец, шестая колонка – это истинностные значения всей формулы или импликации (((а ⊻ в) ∧ ¬а) → в).
Как видим, мы разбили всю формулу на составные части, каждая из которых является двучленным сложным суждением, т. е. состоящим из двух элементов (в предыдущем параграфе говорилось о том, что отрицание (¬а) также представляет собой двучленное сложное суждение).
В четырех последних колонках таблицы представлены истинностные значения каждого из этих двучленных сложных суждений, образующих формулу. Сначала заполним третью колонку таблицы (а ⊻ в). Для этого нам надо вернуться к предыдущему параграфу где была представлена таблица истинности сложных суждений, которая в данном случае будет для нас базисной (как таблица умножения в математике). В этой таблице мы видим, что строгая дизъюнкция ложна, когда обе ее части истинны или обе ложны; когда же одна ее часть истинна, а другая ложна, тогда строгая дизъюнкция истинна. Поэтому значения строгой дизъюнкции (а ⊻ в) в заполняемой таблице (сверху вниз) таковы: "ложно", "истинно", "истинно", "ложно". Далее заполним четвертую колонку таблицы (¬а): когда утверждение (а) два раза истинно и два раза ложно, тогда отрицание (¬а), наоборот, два раза ложно и два раза истинно. Пятая колонка – это конъюнкция ((а ⊻ в) ∧ ¬а). Зная истинностные значения строгой дизъюнкции (а ⊻ в) и отрицания (¬а), мы можем установить истинностные значения конъюнкции, которая истинна только тогда (см. базисную таблицу в предыдущем параграфе), когда истинны все входящие в нее элементы. Строгая дизъюнкция (а ⊻ в) и отрицание (¬а), образующие данную конъюнкцию, одновременно истинны только в одном случае, следовательно конъюнкция ((а ⋁ в) ∧ ¬а) один раз принимает значение "истинно", а в остальных случаях – "ложно". Наконец, надо заполнить последнюю колонку для импликации (((а ⊻ в) ∧ ¬а) → в), которая и будет представлять истинностные значения всей формулы.
Возвращаясь к базисной таблице истинности сложных суждений, вспомним, что импликация ложна только в одном случае, когда ее основание истинно, а следствие ложно. Основанием нашей импликации является конъюнкция ((а ⊻ в) ∧ ¬а), представленная в пятой колонке таблицы, а следствием является простое суждение (в), представленное во второй колонке. (Некоторое неудобство в данном случае составляет то, что слева направо следствие идет раньше основания, однако мы всегда можем мысленно поменять их местами). В первом случае (первая строчка таблицы, не считая "шапки") основание импликации ложно, а следствие истинно, значит, импликация истинна. Во втором случае и основание, и следствие ложны, значит импликация истинна. В третьем случае и основание, и следствие истинны, значит импликация истинна. В четвертом случае, как и во втором, и основание, и следствие ложны, значит импликация истинна.