Как видим, рассматриваемая формула принимает значение "истинно" при всех наборах истинностных значений входящих в нее переменных, следовательно, она является тождественно-истинной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически правильно.
Рассмотрим еще один пример. Требуется формализовать следующее рассуждение и установить, к какому виду относится выражающая его формула: Если какое-либо здание является старым, то оно нуждается в капитальном ремонте; Это здание нуждается в капитальном ремонте; Следовательно это здание старое. Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение:
1. Какое-либо здание является старым;
2. Какое-либо здание нуждается в капитальном ремонте.
Первая часть рассуждения представляет собой импликацию (а → в) этих простых высказываний (первое является ее основанием, а второе – следствием). Далее, к этой импликации присоединяется утверждение второго простого высказывания, и получается конъюнкция ((а → в) ∧ в). И наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение первого простого высказывания, и получается новая импликация (((а → в) ∧ в) → а), которая и является результатом формализации рассматриваемого рассуждения. Чтобы определить вид получившейся формулы, составим таблицу ее истинности. В формуле две переменных (а и в), значит в таблице будет четыре строчки (не считая верхней); также в формуле три союза (→, ∧, →), значит в таблице будет пять колонок. Первые две колонки – это истинностные значения переменных. Третья колонка – истинностные значения импликации (а g в). Четвертая колонка – истинностные значения конъюнкции ((а → в) ∧ в). Пятая, последняя колонка – истинностные значения всей формулы – итоговой импликации (((а → в) ∧ в) → а). Таким образом, мы разбили формулу на три составные части, представляющие собой двучленные сложные суждения. Заполним последовательно три последних колонки таблицы по тому же принципу, что и в предыдущем примере, т. е. опираясь на базисную таблицу истинности сложных суждений.
Как видим, рассматриваемая формула принимает как значение "истинно", так и значение "ложно" при различных наборах истинностных значений входящих в нее переменных, следовательно, она является выполнимой или нейтральной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически неверно, или неправильно: при ином содержании рассуждения такая форма его построения могла бы привести к ошибке. (Например: Если слово стоит в начале предложения, то оно пишется с большой буквы; Слово "Москва" всегда пишется с большой буквы; Следовательно, слово "Москва" всегда стоит в начале предложения).
Мы рассмотрели формулы, состоящие из двух переменных, в силу чего в таблицах их истинности было по 2 = 4 строчки, обозначающие все возможные наборы (см. первые две колонки вышеприведенных таблиц) истинностных значений переменных:
1. обе истинны;
2. одна истинна, другая ложна;
3. одна ложна, другая истинна;
4. обе ложны.
В этом случае заполнить первые две колонки таблицы истинности очень просто. Но как это сделать, если в формулу будут входить три переменных и количество строчек в таблице истинности для такой формулы будет равно 2 = 8, или если переменных будет четыре, а строчек в таблице, соответственно, – 16 и т. д.? Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим как заполняются первые две колонки в таблице с четырьмя строчками: в первой колонке два раза пишется "истинно", а потом два раза "ложно"; во второй колонке пишется один раз "истинно", один раз "ложно", потом опять "истинно" и еще раз "ложно". По тому же принципу заполняются первые колонки таблиц для формул с большим числом переменных и, соответственно, с большим количеством строчек в таблицах. Например, если в формуле три переменных (а, в, с), а в таблице 8 строчек, то первые три колонки, представляющие все комбинации истинностных значений переменных, заполняются так. В первой колонке четыре раза пишем "истинно", а потом четыре раза – "ложно"; во второй колонке два раза пишем "истинно", и два раза "ложно", после чего повторяем это; в третьей колонке один раз пишем "истинно", один раз "ложно" и т. д. до конца колонки.
Если в формуле четыре переменных, и в таблице ее истинности 16 строчек, то первые четыре колонки заполняются так:
Используя данный алгоритм можно составлять таблицы истинности для формул с любым числом переменных. При этом важно помнить, что количество строчек в таблице, как уже говорилось, равно 2, где n – число переменных в формуле, а количество колонок – это сумма всех переменных и всех логических союзов, входящих в формулу. Первые колонки любой таблицы – это истинностные значения переменных, а следующие – истинностные значения составных частей формулы, представляющих собой двучленные сложные суждения. Последняя колонка – истинностные значения всей формулы.
2.14. Виды вопросов
Суждение – это форма мышления, представляющая собой какое-либо утверждительное или отрицательное высказывание. Следовательно, вопрос не является суждением, ведь в нем ничего не утверждается и не отрицается. Тем не менее, вопрос весьма близок к суждению. Эта близость проявляется в том, что любое суждение можно рассматривать как ответ на некий вопрос. Поэтому вопрос можно характеризовать в качестве логической формы, как бы предшествующей суждению, представляющей собой своего рода "предсуждение". Итак, вопрос – это логическая форма (или логическая конструкция), которая направлена на получение ответа в виде некоторого суждения.
Вопросы делятся на исследовательские и информационные. Исследовательские вопросы направлены на получение нового знания. Это вопросы, на которые пока нет ответов. Информационные вопросы имеют своей целью приобретение (передачу от одного лица другому) уже имеющихся знаний (информации). Например, вопрос: Как родилась Вселенная? является исследовательским, а вопрос: Какова температура плавления свинца? – информационным.
Вопросы также делятся на категориальные и пропозициональные. Категориальные вопросы, которые также часто называют восполняющими или специальными, включают в себя вопросительные слова кто, что, где, когда, почему, как и т. п., указывающие направление поиска ответов и, соответственно, категорию объектов, свойств или явлений, в которой следует искать нужные ответы. Пропозициональные (от лат. propositio – суждение, предложение) вопросы, которые также часто называют уточняющими или общими, направлены на подтверждение или отрицание некой уже имеющейся информации. В этих вопросах ответ как бы уже заложен в виде готового суждения, которое надо лишь подтвердить (да) или отвергнуть (нет). Например, вопрос: Кто создал периодическую систему химических элементов? является категориальным, а вопрос: Полезно ли изучение математики? – пропозициональным.
Понятно, что и исследовательские, и информационные вопросы могут быть как категориальными, так и пропозициональными (Можно было бы выразиться наоборот: и категориальные и пропозициональные вопросы могут быть как исследовательскими, так и информационными). Например: Как создать универсальное доказательство теоремы Ферма? – исследовательский категориальный вопрос; Есть ли во Вселенной планеты, населенные, как и Земля, разумными существами? – исследовательский пропозициональный вопрос; Когда появилась логика? – информационный категориальный вопрос; Верно ли, что число П – это отношение длины окружности к ее диаметру? – информационный пропозициональный вопрос.