то благодаря условию целочисленности решений можно ограничить возможные значения у рассмотрением нескольких случаев.
8.7. Если подставить известный корень в уравнение, найти коэффициенты при рациональной и иррациональной частях, то получим систему двух уравнений для определения а и b.
8.8. Ответьте на вопрос: достаточно ли воспользоваться теоремой Виета, в силу которой свободный член и второй коэффициент должны быть положительными?
8.9. Если обозначить первый корень через x1, а знаменатель прогрессии через q, то останется применить теорему Виета. (!)
8.10. С помощью теоремы Виета получить зависимость между α1, α2, α3 и коэффициентами данного уравнения. (!)
8.11. Разделить x³ + аx + 1 на x − α по правилу деления многочлена на двучлен.
8.12. Ясно, что остаток нужно искать в виде аx + b. Если данный многочлен обозначить через P(x), а частное от его деления на (x − 2)(x − 3) - через Q(x), то мы сможем воспользоваться определением деления многочленов.
8.13. Если многочлен x + 1 разделится на x² + рx + q, то в частном мы получим многочлен второй степени, т. е. x² + аx + b.
8.14. Если данный многочлен делится на (x − 1)³, то после замены x − 1 = у получим многочлен, который должен делиться на у³.
8.15. Если многочлен четвертой степени с коэффициентом 6 при старшем члене делится на x² − x + q без остатка, то в частном обязательно получится многочлен 6x² + аx + b, в котором а и b определяются одновременно с p и q.
K главе 9
9.1. Точки −2, −1, 0 делят числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых нужно решить данное уравнение. (!)
9.2. Если рассматривать значения x, обращающие в нуль числа, стоящие под знаками абсолютных величин, то придется разбить числовую ось на пять частей.
Удобнее ввести новое неизвестное у = x². (!)
9.3. Это уравнение четвертой степени. Следовательно, нужно найти искусственный прием, приводящий к его решению. Удобно воспользоваться тем, что слева стоит сумма квадратов.
9.4. Возвести в куб и сравнить полученное уравнение с данным.
9.5. Свести уравнение к симметрической системе, обозначив первое слагаемое левой части через u, а второе через v. (!)
9.6. Если под радикалами раскрыть скобки, то получим квадратные трехчлены, отличающиеся лишь свободным членом. Поэтому данное в условии уравнение удобно заменить системой, обозначив первое слагаемое его левой части через u, а второе через v.
9.7. Поскольку неизвестное входит в уравнение либо в сочетании x − b, либо в сочетании а − x, то удобно ввести обозначения 
и получить систему алгебраических уравнений.
9.8. Ввести вспомогательное неизвестное у и свести решение данного уравнения к решению системы уравнений относительно x и у.
9.9. Перенести 
в правую часть уравнения и возвести обе части в квадрат.
9.10. Чтобы избавиться от знаков абсолютной величины, можно поступить двояко: либо потребовать, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной, и решить уравнения
x² − /2 − 1 = −x² − 4x + β, x² − /2 − 1 = x² + 4x − β;
либо рассмотреть два случая: в первом выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во втором - отрицательно.
9.11. Рассмотреть различные случаи расположения x и у по отношению к нулю (всего придется рассмотреть четыре случая). (!)
9.12. Решить систему уравнений с параметром k, а затем решить систему неравенств. (!)
9.13. Рассмотреть различные случаи взаимного расположения чисел x и у и чисел x и −у. Это позволит раскрыть знаки абсолютной величины. (!)
9.14. Второе уравнение - уравнение окружности радиуса √а . Нарисовать кривую, которая определяется первым уравнением.
9.15. Одно решение очевидно: x = у = 0. Если ху ≠ 0, то можно разделить первое уравнение на ху, а второе на x²у².
9.16. Если бы во втором и третьем уравнениях не было коэффициентов 2 и 3, то уравнения системы получались бы друг из друга с помощью циклической перестановки неизвестных x, у и z. Однако влияние коэффициентов оказывается столь сильным, что попытка использовать это свойство системы не приводит к успеху. Попытайтесь преобразовать систему в распадающуюся, для чего потребуется отыскать алгебраическое выражение, общее для двух уравнений, и исключить его.
9.17. Если первое уравнение системы записать в виде x + у = −z и возвести в квадрат, то с помощью второго ее уравнения можно найти ху.
9.18. Сопоставьте первое и последнее уравнения. Если записать их в виде
x + у = 1 − z, х³ + у³ = 1 − z³,
то напрашивается способ, с помощью которого можно преобразовать систему в распадающуюся.
9.19. Если раскрыть скобки, то получим систему линейных уравнений относительно u = x + у + z, v = ху + xz + yz, w = xyz. Найдя u, v и w, можно вычислить х³ + у³ + z³, если возвести x + у + z = u в куб: u³ = х³ + у³ + z³ + 3uv − 3w.
Однако такой путь решения, хотя и прост по идее, требует значительных выкладок. Решение можно упростить, если ввести в рассмотрение многочлен M(t) = (t − x)(t − у)(t − z) + а, который в силу условия задачи имеет корни t = а, t = b, t = с.
9.20. Первые два уравнения системы симметричны относительно x и у. Нужно использовать эту симметрию для того, чтобы получить одинаковые правые части у этих двух уравнений.
9.21. Если второе уравнение возвести в квадрат, то можно сравнить два выражения для (x + у)². (!)
9.22. В первое уравнение входит у, в последующие уt, yt² и yt³ соответственно. Эта закономерность позволяет исключить у.
9.23. Каждый элемент, стоящий в левой части второго уравнения, получается из соответствующего элемента, стоящего в левой части первого уравнения, возведением в квадрат. Нужно использовать это свойство системы.
9.24. Левые части всех трех уравнений симметричны относительно x, у, z. Поэтому, подвергнув какому-то преобразованию любые два уравнения системы, разумно сделать то же самое и с оставшимися двумя парами уравнений.
9.25. Если известна сумма s = x1 + x2 + ... + xn, то из каждого уравнения можно найти соответствующее xk.
9.26. Чтобы избежать возведения двучлена в третью и, тем более, в пятую степень, нужно ввести новые неизвестные так, чтобы выражение 7x − 11у было одним из этих неизвестных.
9.27. Поскольку 
входит в оба уравнения с разными знаками, а √у - с одинаковыми, то естественно сложить данные уравнения и вычесть. При этом мы приходим к системе, у которой слева стоят сумма и разность одинаковых радикалов, а справа - разные радикалы.
9.28. Чтобы левые части уравнений стали однородными относительно неизвестных, удобно ввести новое неизвестное z = √у.