Сам Тарский кратко обсуждает два способа связанные с применением конечных последовательностей переменной длины вместо бесконечных последовательностей, но он указывает и на некоторые недостатки этих альтернативных способов. Первый из них ведет к «значительным [или довольно серьезным"] осложнениям» (ziemlich bedeutenden Komplikationen) при определении удовлетворения (Определение 22), в то время как недостаток второго состоит в «некоторой искусственности» (eine gewisse Kunstlichkeit), поскольку он приводит к определению истины (Определение 23 [р. 195 англ. перевода]) с помощью понятия «пустой последовательности», или «последовательности нулевой длины» . В своих замечаниях я хочу обратить внимание на то, что сравнительно небольшое изменение процедуры Тарского позволяет нам оперировать с конечными последовательностями, не сталкиваясь с осложнениями или искусственностями (например, пустыми последовательностями), которые имел в виду Тарский. Этот способ позволяет нам сохранить весьма естественную процедуру, предусмотренную условием (6) Определения 22 Тарского (р. 193 англ. перевода), и таким образом избежать обходного пути, связанного с введением отношений или свойств, имеющих порядок, равный числу свободных переменных рассматриваемой пропозициональной функции. Предлагаемое мною изменение способа Тарского достаточно незначительно, но ввиду того, что Тарский ссылается на другие его варианты, имеющие значительные недостатки, а не на данный вариант, может быть, стоит описать и это небольшое улучшение .
Для этой цели полезно будет неформально упомянуть, во-первых понятие номера места n (place number n ) (или n-го места) в конечной последовательности объектов, а во-вторых, понятия длины конечной последовательности f , то есть число мест в f (символически Np(f)) равное самому большому номеру места в ней, и сравнения конечны последовательностей по их длине. Упомянем, в-третьих, что объект может занимать в последовательности определенное место скажем, n-е, -и тогда его можно назвать [n-м индивидом или] n-м объектом, или n -м членом рассматриваемой последовательности. Следует отметить, что один и тот же объект может занимать разные места в одной последовательности так же как и в разных последовательностях .
Как и Тарский, я использую символы " f 1 ", " f 2 ", ... , " f i ", " f k "» ... " f n " в качестве имен объектов, занимающих первое, второе, i-е, k-e, ... n-е места в последовательности f . Я пользуюсь обозначениями Тарского за тем исключением, что [по типографским соображениям] использув "P ky" для обозначения обобщения [или квантификации по общности выражения y по переменной v k . Принимается, что к Определению (11) Тарского добавлено Определение выражения «v kвходит в пропозициональную функцию x» это предположение ни в коей мере не выводит нас за пределы методов Тарского и фактически в неявном виде присутствует в процедурах самого Тарского.
Теперь мы можем заменить Определение 22 Тарского [р. 193]. Мы заменим его двумя определениями предварительным Определением 22a и Определением 22b, которое соответствует собственному определению Тарского.
Определение 22а. Конечная последовательность объектов f адекватна пропозициональной функции x(или достаточно длинна относительно x), если и только еслидля каждого натурального числа n,
если v n входит в x, то число мест в f по крайней мере равно n (то есть Np(f) n).