2
π
0
t
Im Ψ5(t)
(t+Q²)³
=
4ƒ
2
π
m
4
π
1
(m
2
π +Q²)³
+
2
π
9m2π
t
Im Ψ5(t)
(t+Q²)³
.
(32.4)
Здесь важно, что Im Ψ5(t)0; отсюда немедленно следует неравенство, связывающее величины mu+md и mπ,ƒπ,αsG² :
[
m
u
(Q²)+
m
d
(Q²)]²
32π²ƒ
2
π
m
4
π
3(m
2
π +Q²)³
×
1+
11
3
αs(Q²)
π
+
2π
3Q4
α
s
G²
-1
.
(32.5)
Это ограничение не слишком хорошее, так как мы теряем значительную часть информации. Его можно улучшить, рассмотрев N-ю производную от величины F(Q²) и оптимизируя ее по переменным N и Q2. Детальное изложение можно найти в работе [34]. В результате получаем
m̂
u
+m̂
d
2π
3
½
8m
2
π
ƒ
2
π
3αG²½
{1±δ} ,
(32.6)
где δ - поправка~25%. Если использовать значение вакуумного среднего αsG²0 , полученное из спектроскопии чармония [229, 230] или в вычислениях на решетке [96], то получим такие численные оценки:
m̂
u
+m̂
d
(23±8) МэВ ,
α
s
G²0.044
+0.014
-0.006
ГэВ
4
.
(32.7)
Эта ограничения не учитывают возможные ошибки в определении значения вакуумного среднего αsG² . Если добавить и их, то получим ограничение снизу
m̂
u
+m̂
d
13 МэВ .
(32.8)
Во всяком случае, это ограничение совместимо в пределах ошибок с ограничениями (31.7), хотя некоторое предпочтение отдается бо́льшим массам кварков.
Этот метод можно использовать не только для получения ограничений на массы кварков, но и для оценки их значений. С этой целью в рамках той или иной модели вычисляют функцию Im Ψ5ij(t), для которой при больших t используют выражение, полученное из КХД, а низкоэнергетическую часть параметризуют (одним или несколькими) резонансами. Таким способом получена оценка [169, 254, 284*]
m̂
u
+m̂
d
(20±6) МэВ ,
(32.9)
Недавно был развит альтернативный метод [210], который можно рассматривать как основанное на КХД улучшение классических оценок, полученных в работе [192]. Этот метод позволил получить приближенное значение m̂u+m̂d(27±8) МэВ при параметре обрезания Λ=130 ± 50 МэВ. Как было указано выше, мы получаем массы кварков, согласующиеся с оценками (31.7), но смещенные в сторону больших значений. Между прочим, эти оценки показывают, что ограничение (32.6) является очень строгим, и, возможно, приближенное равенство
m̂
u
+m̂
d
2π
3
½
8m
2
π
ƒ
2
π
3αG²½
,
по крайней мере в некотором пределе, является точным.
§ 33. Распад π0γγ; аксиальная аномалия
Одно из первых указаний на существование цветовых степеней свободы было получено при изучении распада π0γγ, к детальному
рассмотрению которого мы теперь переходим.
Используя редукционные формулы, амплитуду этого распада можно записать в виде
γ(k
1
,λ
1
),γ(k
2
,λ
2
)
|S|π
0
(q)
=
-ie2
(2π)9/2
ε
*
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
*
ν
(k
2
,λ
2
)
4
x
1
4
x
2
4
z
e
i(x1k1+x2k2-zq)
×
(
2
z
+m
2
π
TJ
μ
em
(x
1
)
J
ν
em
(x
2
)
φ
π0
(z)
0
,
(33.1)
где принято
A
μ
(x)=J
μ
em
(x),
A поле фотонов48а). Выделяя дельта-функиию δ(k1+k2+q), получаем
48а) Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство этого равенства, а также равенства
2
x1
2
x2 TAμ(x1)Aν(x2)φ(z) = T(²Aμ(x1)²Aν(x2))φ(z) , означающего, что возможные члены, в которых производные действуют на функцию θ01-z0 в хронологическом произведении, приводят к вкладам, равным нулю.
F(π
0
)γ(k
1
,λ
1
),γ(k
2
,λ
2
))
=
e
2
(q
2
-m
2
π
)
2π
ε
*
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
*
ν
(k
2
,λ
2
)
F
μν
(k
2
,k
2
) ,
(33.2а)
где вакуумное среднее
F
μν
(k
2
,k
2
)
=
4
x
4
y
e
i(xk1+yk2)
TJ
μ
(x)J
ν
(y)φ
π0
(0)
0
,
q
=
k
1
+k
2
.
(33.2б)
Всюду в дальнейшем при токе J подразумевается индекс em, обозначающий электромагнитное взаимодействие. Теперь можно использовать соотношение (31.1), обобщив его так, чтобы включить поля π0-мезонов:
μ
A
μ
3
(x)
=
2ƒ
π
m
2
π
φ
π0
(x),
A
μ
3
(x)
=
u
(x)γ
μ
γ
5
u(x)
-
d
(x)γ
μ
γ
5
d(x),
(33.3)
и записать с его помощью равенства
F
μν
(k
1
,k
2
)
=
1
ƒπm
2
π
T
μν
(k
1
,k
2
),
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
1
2
4
x
4
y
e
i(xk1+yk2)
TJ
μ
(x)J
ν
(0)A
3
(0)
0
.
(33.4)
До сих пор все вычисления были точными. Следующий же шаг связан с применением гипотезы частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ), сформулированной в таком виде: предполагается, что в пределе q²0 амплитуду F(πγγ) можно аппроксимировать ее ведущим членом. Из чисто кинематических соображений видно, что при этом также q, k1, k2 0. Тогда можно написать
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
ε
μναβ
k
1α
k
2β
Φ+O(k
3
).
(33.5)
Гипотеза частичного сохранения аксиального тока означает, что в выражении (33.5) мы сохраняем только первый член. Ниже будет показано, что это приводит к противоречию, для разрешения которого необходимо ввести так называемую аксиальную аномалию, что позволит точно вычислить тензор Tμν во всех порядках теории возмущений (в приближении ЧСАТ).
Первый шаг состоит в рассмотрении величины
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
4
x
4
y
e
i(xk1+yk2)
TJ
μ
(x)J
ν
(y)A
λ
3
(0)
0
.
(33.6)
Исходя только из требования
лоренц-инвариантности, для нее можно написать общее разложение
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
ε
μνλα
k
1α
Φ
1
+
ε
μνλα
k
2α
Φ
2
+O(k³),
(33.7)
где члены O(k³) имеют вид εμλαβkiαkiβklλΦlij + три перестановки, и для случая m0 функция Φ является регулярной в пределе ki0. Сохранение электромагнитного тока J=0 приводит к равенствам