47) Действительно, в пределе m²π0 правая часть равенства (31.1) обращается в нуль.
Следующий шаг состоит в рассмотрении двухточечных функций (индекс ud в обозначении Aud мы опускаем)
F
μν
(q)
=
i
4
x e
iqx
TA
μ
(x)A
ν
(0)
+
vac
,
и их сверток с компонентами импульса qμ и qν
q
ν
q
μ
F
μν
(q)
=
-q
ν
4
x e
iqx
ν
TA
μ
(x)A
ν
(0)
+
vac
,
=
-q
ν
4
x e
iqx
δ(x
0
)
[A
0
(x),A
ν
(0)
+
]
vac
-
-q
ν
4
x e
iqx
TA(x)A
ν
(0)+
vac
,
=
2i
4
x e
iqx
δ(x
0
)
[A
0
(x)A(0)
+
]
vac
+
i
4
x e
iqx
TA(x)A(0)
+
vac
.
Используя равенство (31.1) и вычислив коммутатор, получаем
q
ν
q
μ
F
μν
(q)
=
2(m
u
+m
b
)
4
x e
iqx
δ(x)
u
(x)u(x)+
d
(x)d(x)
vac
+
2iƒ
2
π
m
4
π
4
x e
iqx
Tφ
π
(x)φ
π
(0)
+
vac
,
или в пределе q0
2(m
u
+m
d
)
u
(0)u(0)+
d
(0)d(0)
vac
=
-2iƒ
2
π
m
4
π
x e
iqx
Tφ
π
(x)φ
π
(0)
+
vac
q0
.
В правую часть этого равенства дают вклады пионный полюс и континуум, которые можно записать в виде
i
4
x e
iqx
Tφ
π
(x)φ
π
(0)
+
vac
q0
=
1
m
2
π -q2
+
1
π
t'
Im Π
t'-q²
q0
=
1
m
2
π
+
1
π
t'
Im Π
t'
;
Π
=
i
4
x e
idx
Tφ
n
(x)φ
π
(0)
+
vac
.
Порядок выполнения предельных переходов в данном случае существен; вначале следует устремить импульс q к нулю, а затем перейти к киральному пределу. В этом пределеле47а) m²π0 первый член в правой части записанного равенства расходится, а второй остается конечным. Следовательно, мы получаем окончательный результат
47а) Это собственно и есть предел ЧСАТ, так как в этом пределе аксиальный ток сохраняется и его дивергенция равна нулю: μAμ=0.
(m
u
+m
d
)
u
u+
d
d
vac
=
-ƒ
2
π
m
2
π
1+O(m
2
π
)
.
(31.4)
Это соотношение отражает тот факт, что вакуумное среднее qqvac не равно нулю, ибо в противном случае мы должны потребовать равенства ƒπ=0. Отметим также, что до сих пор не проводилось различий между "голыми" и перенормированными массами и операторами. Этого и не нужно делать, так как известно,
что масса m и составной оператор qq обладают противоположным перенормировочным поведением, и справедливо равенство mR(qq)R = mu(qq)u .
Можно повторить вывод формулы (34.1) для каонов. Пренебрегая членами O(m²π) или O(m²K), получим
(m
u
+m
s
)
u
u+
s
s
vac
=
-ƒ
2
K
m
2
K+
,
(m
d
+m
s
)
d
d+
s
s
vac
=
-ƒ
2
K
m
2
K0
.
(31.5)
Если предположить, что вакуумное среднее qq одинаково для кварков всех ароматов, то для масс легких кварков можно получить
ms+mu
md+mu
ƒ
2
K
m
2
K+
ƒ
2
π m
2
π
,
md-mu
md+mu
ƒ
2
K
ƒ
2
π
m
2
K0
-m
2
K+
m
2
π
.
Более строгие оценки требуют рассмотрения обусловленных электромагнитным взаимодействием вкладов в наблюдаемые массы π и K-мезонов. Учитывая их, получаем48)
48) См. работы [99, 260, 280]. Этот метод возник в работах [141, 147, 192]
ms
md
=18±4 ,
md
mu
=2.0±0.3
(31.6)
Если теперь объединить эти результаты с феноменологическими оценками (из спектроскопии мезонов и барионов) масс кварков ms-md100 - 200 МэВ md-mu4 МэВ, то мы получим следующие значения масс в мегаэлектронвольтах:
m
u
(qm
p
)6,
m
d
(Qm
p
)10,
m
s
(Qm
p
)200,
(31.7)
где приближенное равенство означает, что возможна ошибка в 2 раза.
Такой способ получения масс кварков весьма неточен, поэтому в следующем параграфе будет описан другой, более изощренный метод.
§ 32. Ограничения на массы легких кварков и оценки для них
В этом параграфе описан метод получения ограничений на массы кварков и оценок для них. Этот метод впервые был использован в работе [254] и развит в работе [34]. Отправной точкой метода является функция
Ψ
5
ij
(q²)
=
i(m
i
+m
j
)²
4
x e
iqx
TJ
5
ij
(x)J
5
ij
(0)
+
vac
,
(32.1)
где ток J5 имеет вид
J
5
ij
q
i
γ
5
q
j
.
Во всех порядках теорий возмущений функция
F
ij
(Q²)
=
²
(q²)²
Ψ
5
ij
(q²) ,
Q²=-q² ,
в пределе Q² обращается в нуль. Следовательно, можно записать без каких-либо вычитаний следующее дисперсионное соотношение:
F
ij
(Q²)
=
2
π
0
t
Im Ψ
5
ij
(t)
(t+Q²)³
.
(32.2)
Левую часть этого равенства при больших значениях Q² можно вычислить в рамках квантовой хромодинамики. Но при этом необходимо соблюдать осторожность: недостаточно сохранить только ведущий член операторного разложения для произведения токов TJ5J5+, вклад операторов qq, xαqαq и G²=aGaμνGμνa также оказывается важным. Проводя вычисления в двухпетлевом приближении и помня о том, что операторы αsG² и mqq в рассматриваемом порядке теории возмущений являются ренорминвариантными величинами, получаем
F
ij
(Q²)
=
3
8π²
[mi(Q²)+mj(Q²)]²
Q²
×
1+O
m²
Q²
+
11
3
αs(Q²)
π
+
2π
3
αsG²
Q4
-
16π2
3Q4
m
j
-
mi
2
q
i
q
i
+
m
i
-
mj
2
q
j
q
j
.
Вклады операторов qq и G² оцениваются с учетом непертурбативных частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора mqq можно оценить, используя формулы (31.4) и (31.5); по-видимому, эти вклады имеют величину O(m²/Q²) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем
F
ij
(Q²)
=
3
8π²
[mi(Q²)+mj(Q²)]²
Q²
×
1+
11
3
αs(Q²)
π
+
2π
3Q4
α
s
G²
.
(32.3)
Обратимся теперь к правой части равенства (32.2). Вклад пионного (для ij=ud) или каонного (для ij=us,sd) резонанса можно получить непосредственно; в случае пионов находим