k
1μ
R
μνλ
=
k
2ν
R
μνλ
=0;
(33.8)
первое из этих равенств обеспечивает выполнение соотношения
Φ
1
=
O(k²),
(33.9а)
а второе - соотношения
Φ
2
=
O(k²),
(33.9б)
Но из формул (33.4) и (33.6) следует равенство
q
λ
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
T
μν
(k
1
,k
2
), т.е. Φ=Φ
2
-Φ
1
,
(33.10)
и, следовательно, учитывая выражения (33.9) , получаем результат [238, 255]
Φ=O(k²).
(33.11)
Импульс k имеет величину порядка m откуда следует оценка Φ2π. По это противоречит эксперименту и, что еще хуже, противоречит результату прямого вычисления. Действительно, используя уравнение движения, можно написать
μ
A
μ
3
(3)=2i
m
u
u
(x)γ
5
u(x)
-
m
d
d
(x)γ
5
d(x)
.
(33.12)
Рис. 25. Диаграммы с аномалиями (а, б) и диаграммы, не содержащие аномалий (в, г).
Проведем вычисления в нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs ; очевидно, что в этом порядке выражение (33.11) должно быть справедливо. Этому соответствуют диаграммы рис. 25, а. Результат, полученный впервые в работе [234], в пределе k1,k20 при δu=1, δd=-1 имеет вид
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
3×2×
f=u,d
δ
ƒ
Q
2
ƒ
m
ƒ
×
4p
2(π)4
Tr γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
-k
2
+m
ƒ
)
[(p+k
1
)²-m
2
ƒ
](p²-m
2
ƒ
[(p-k
2
)²-m
2
ƒ
]
=
-1
4π²
ε
μναβ
k
1α
k
2β
3(Q
2
u
-Q
2
d
)
+O(k
4
)
=
-1
4π²
ε
μναβ
k
1α
k
2β
+O(k
4
)
Множитель 2 в первом выражении является следствием учета "кросс" диаграмм; множитель 3 возник из суммирования по цвету. Таким образом, получаем
Φ=
-1
4π²
(33.13)
что противоречит результату (33.11). Это и составляет содержание треугольной аномалии [7, 36].
В чем скрыто противоречие? Очевидно, что нельзя сохранить выражение (33.12), которое получено с использованием уравнения движения для свободных полей i q=mq ; необходимо допустить, что в присутствии векторных полей (в данном случае фотонного поля) выражение (33.12) не справедливо. Чтобы получить согласие с формулой (33.13), необходимо написать [7]
μ
A
μ
3
(x)
=
2i
m
u
u
(x)γ
5
u(x)
-
m
d
d
(x)γ
5
d(x)
+
3(Q
2
u
-Q
2
d
)
e²
16π²
F
μν
(x)
F
̃
μν
(x),
(33.14)
где дуальный тензор F̃ определяется формулой
F
̃
μν
=
1
2
ε
μναβ
F
αβ
,
F
αβ
=
α
A
β
-
β
A
α
,
где A фотонное поле. Для более общего случая фермионных полей ƒ, взаимодействующих с векторными полями с константой взаимодействия hƒ , справедливо выражение
μ
ƒ
γ
μ
γ
5
ƒ
=
2im
ƒ
ƒ
γ
5
ƒ+
TFh²
8π²
H
μν
H
̃
μν
;
(33.15)
здесь Hμν тензор напряженностей векторных полей. Вернемся к рассмотрению распада π0γγ. Из (33.13) в пределе ЧСАТ mπ0 вычислим амплитуду распада
F(π
0
2γ)
=
α
π
ε
μναβ
k
1α
k
2β
ε
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
ν
(k
2
,λ
2
)
(q
2
-m
2
π
)
2π
ƒm
2
π
(33.16)
и ширину распада
Γ(π
0
γγ)
=
α
π
²
1
64π
m
3
π
ƒ
3
π
7,2510
-6
МэВ,
которую следует сравнить с экспериментально полученным значением
Γ
exp
(π
0
γγ)
=
7,95×10
-6
МэВ .
В действительности можно определить и знак амплитуды распада (используя метод Примакова), который согласуется с теоретическими предсказаниями. Важно отметить, что если бы не было цветовых степеней свободы, то результат был бы в (1/3)2 раза меньше и отличался бы от экспериментального значения на целый порядок величины.
Можно поставить вопрос о том, насколько достоверны эти вычисления. В конце концов, они выполнены в нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs . На самом деле этот расчет верен во всех порядках теории возмущений КХД 48б); единственное приближение состоит в использовании гипотезы ЧСАТ mπ0. Чтобы убедиться в этом, приведем альтернативный метод получения основного результата (33.13). Для этого вернемся к выражению (36.6). В нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs имеем
48б) В действительности этот расчет верен во всех порядках теории возмущений для любого взаимодействия, подобного векторному. Доказательство этого факта в основном содержится в работе [9] (см. также [25, 80, 268]).
R
μνλ
=
δ
ƒ
Q
2
ƒ
4p
(2π)4
Tr γ
λ
γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
-
k
2
+m
ƒ
)
((p+k
1
)
2
-m
2
ƒ
)(p
2
-m
2
ƒ
)((p-k
2
)
2
-m
2
ƒ
)
+
вклад "кросс"-диаграммы
(рис. 25,6) В общем случае можно рассматривать произвольный аксиальный треугольник, которому соответствует выражение
R
μνλ
ijl
=2
Dp
(2π)D
Tr γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
-k
2
+m
ƒ
)
[(p+k
1
)²-m
2
ƒ
](p²-m
2
ƒ
[(p-k
2
)²-m
2
ƒ
]
(33.17)
Нам нужно вычислить величину qλRλμν . Используя равенство
(
k
1
+
k
2
)γ
5
=-
(
p
-
k
2
-m
l
)γ
5
+
(
p
+
k
1
-m
i
)γ
5
-
(m
i
+m
l
)γ
5
,
приходим к результату
q
λ
R
λμν
ijl
=
-2(m
i
+m
l
)
×
4p
(2π)4
Tr
γ
5
(
p
+
k
1
+m
i
γ
μ
(
p
+m
j
)
γ
ν
(
p
-
k
2
+m
l
)
((p+k
1
)²-m
2
i
)(p
2
-m
2
j
)((p-k
2
)
2
-m
2
l
)
+
a
μν
ijl
(33.18а)
a
μν
ijl
=
2
D
p̂ Tr{(
p
-
k
2
-m
l
)γ
5
(
p
+
k
-m
i
)γ
5
}
×
1
p +k 1-mi
γ
μ
1
p -mj
γ
ν
1
p -k 2-ml
(33.18б)
Первый член в (33.18а) соответствует тому, что мы получили бы при непосредственном использовании уравнений движения μqiγμγ5ql = i(mi+ml)qiγ5ql ; второй член описывает аномалию. Приняв в пространстве размерности D для γ-матриц коммутационные соотношения {γμ,γ5}=0, второе слагаемое в формуле (33.18а) можно записать в виде
a
μν
ijl
=
-2
D
p̂
Tr γ
5
1
p +k 1-mi
γ
μ
1
p -mj
γ
ν
+