При рассмотрении данного круга вопросов важны две теоремы. Первая из них, установленная Коулменом [72], гласит, что "инвариантность вакуума означает инвариантность мира", или, более строго, что физические состояния (включая и связанные состояния) инвариантны по отношению к преобразованиям из группы симметрии Вигнера Вейля. Если предположить, что киральная симметрия принадлежит к симметриям Вигнера Вейля, то отсюда можно заключить, что массы мезонов должны быть вырождены с точностью до поправок порядка m²/mh , где mh - адронные массы. Это справедливо для таких мезонов, как ω, ρ, K*, φ или ƒ', A2 , ƒ0; но если рассмотреть дублеты по четности, то вырождения, очевидно, нет. Это обстоятельство убедительно свидетельствует о том, что группа симметрии SUF(3) принадлежит к симметрии Вигнера - Вейля, а киральная группа симметрии SU+F×SU-F содержит генераторы типа Намбу - Голдстоуна. Поэтому мы примем, что генераторы Q и Qs удовлетворяют соотношениям
Q
a
(t)|0=0 , Q
a
5
(t)|00 .
(30.6)
Второй важной теоремой является теорема Голдстоуна [148]. Она утверждает, что для каждого генератора, результат действия которого на вакуумное состояние не равен нулю, должен существовать безмассовый бозон, обладающий теми же квантовыми числами, что и соответствующий ему генератор. Таким образом, малость масс мезонов π и K44а) мы "объясняем" тем, что в пределе mu, md, ms0 мы получили бы mπ0 и mK0. Действительно, несколько ниже будет показано, что46)
44а) При рассмотрении частиц, имеющих равное нулю квантовое число аромата, возникнет своя проблема (так называемая (U(1)-проблема). мы обсудим ее несколько ниже.
46) Правые части соотношений (30.7) должны быть умножены на константу размерности массы. Прим. перев.
m
2
π
m
u
+m
d
, m
2
K
m
s
+m
u,d
.
(30.7)
Мы не будем доказывать здесь этих теорем, а отметим, что соотношения (30.7) дают более
количественный критерий выполнения киралыюй симметрии и симметрии по ароматам; они справедливы с точностью до поправок порядка m²π/m²ρ для группы SUF(2) и с точностью до поправок порядка m²K/m²K* в случае группы SUF(3).
Отметим также, что симметрия Намбу - Голдстоуна [203, 205, 206] не может быть реализована в рамках теории возмущений, так как во всех порядках теории возмущений Qa5(t)|0=0. Это означает, что физический вакуум отличается от вакуума теории возмущений в пределе m0. Там, где есть опасность ошибиться, мы будем подчеркивать этот факт, используя для вакуума теории возмущений обозначение |0 , а для физического вакуума обозначение |vac. Поэтому соотношения (30.6) мы запишем в виде
Q
a
(t)|vac=0 , Q
a
5
(t)|vac0 .
(30.8)
Нетрудно видеть, как это происходит. Пусть a+mG(p) - оператор рождения частицы, масса которой может быть равной нулю. Состояния
a
+
mG
(0)
(n)
a
+
mG
(0)|(0)=|n
вырождены в пределе mG0. Таким образом, в этом пределе физический вакуум имеет вид
|vac=
C
n
|n.
Ожидается, что подобное явление происходит в квантовой хромодинамике, в частности в пределе mq0.
§ 31. Частичное сохранение аксиального тока и отношения масс кварков
Теперь мы можем получить количественные результаты для масс легких кварков. С этой целью рассмотрим ток
A
μ
ud
(x)=
u
(x)γ
μ
γ
5
d(x) ,
и его дивергенцию
μ
A
μ
ud
(x)=i(m
u
+m
d
)
u
(x)γ
5
d(x) .
Последняя величина имеет квантовые числа π+-мезона, и ее можно использовать как (составное) пионное поле. Поэтому напишем
μ
A
μ
ud
(x)=
2
ƒ
π
m
2
π
φ
π
(x) .
(31.1)
Коэффициенты в формуле (31.1) выбраны такими по историческим причинам. Пионное поле φπ(x) нормировано следующим образом:
0|φ
π
(x)|π(p)
=
1
(2π)3/2
(31.2а)
где |π(p) - однопионное состояние с импульсом p. Константа ƒπ может быть получена экспериментально. Действительно, рассмотрим слабый распад πμν. Эффективный лагранжиан Ферми, описывающий слабые взаимодействия, имеет вид
F
int
=(G
F
/
2
)
μ
γ
λ
(1-γ
5
)ν
μ
u
γ
λ
(1-γ
5
)d+ .
Используя его, мы получаем
F(πμν)
=
2πGF
2
u
(ν)
(p
2
)γ
λ
(1-γ
5
)
v
ν
(p
1
,σ)
0|A
λ
ud
(0)|π(p) .
Исходя из соображений инвариантности, можно написать равенство
0|A
λ
ud
(0)|π(p)=ip
λ
C
π
(31.2б)
свернув которое с компонентой импульса pμ , получим результат Cπ=ƒπ2/(2π)3/2:
m
2
π
C
π
0|
λ
A
λ
ud
(0)|π(p)=
2
ƒ
π
m
2
π
1
(2π)3/2
;
(31.2в)
следовательно,
r(πμν)
=
4π
(1-m
2
μ /m
2
π )2 G
2
F ƒ
2
π mπm
2
μ .
Таким образом, константа ƒπ непосредственно связана со скоростью распада πμν . Экспериментально получено значение ƒπ93,3 МэВ. Замечательный факт состоит в том, что, повторив тот же анализ для каонов и используя равенство
θ
μ
A
μ
us
(x)
=
2
ƒ
K
m
2
K
φ
K
(x) ,
(31.3)
мы получим экспериментальное значение ƒK110 МэВ , которое с точностью 20% согласуется со значением величины ƒπ . В действительности этого и следовало ожидать, так как в пределе mu, d, s0 разницы между пионами и каонами нет и должно выполняться строгое равенство. Тот факт, что значения ƒπ и ƒK реальном мире оказываются такими близкими, является веским
аргументом в пользу киральной симметрии SUF(3).
Соотношения (31.1) и (31.3) иногда называют частичным сохранением аксиального тока (ЧСАТ)47), что не имеет большого смысла, так как эти соотношения на самом деле являются тождествами. Можно использовать любое желаемое пионное поле, в частности поле (31.1) при условии, что оно имеет правильные квантовые числа и его матричный элемент между вакуумным и однопионным состояниями не равен нулю. Нетривиальная часть явления частичного сохранения аксиального тока описана ниже.