некоторые дополнительные подробности.
42в) По-видимому, это действительно так. Как мы увидим ниже (см. § 31), ожидается, что массы кварков удовлетворяют соотношениям m̂d/m̂u2, m̂s/m̂d20, m̂u6 МэВ.
Параметрируем преобразование W в виде exp{(i/2)θaΛa}, где Λ - матрицы Гелл-Манна42г). Операторы, выполняющие преобразования (29.2), обозначим U±(θ):
42г)Мы рассматриваем случай трех ароматов nƒ=3. В случае двух ароматов nƒ=2 матрицы Гелл-Манна λ следует заменить матрицами Паули σ.
U
±
(θ)
1±γ5
2
q
l
U
-1
±
(θ)=
l'
(e
(i/2)θaλa
)
ll'
1±γ5
2
q
l'
.
(29.9)
Для бесконечно малых значений параметра θ запишем эти операторы в виде
U
±
(θ)1-
i
2
L
a
±
θ
a
, (L
a
±
)
+
=L
a
±
,
так что из (29.9) следуют уравнения
[L
a
±
,q
l±
(x)]=-
l'
λ
a
ll'
q
l'±
(x) , q
l±
1±γ5
2
q
l
.
(29.10)
Поскольку операторы U оставляют инвариантным член лагранжиана, описывающий взаимодействие, уравнения (29.10) можно решить для случая свободных полей. Результат имеет вид42д)
42д) Для проверки решения (29.11) можно воспользоваться коммутационными соотношениями для свободных полей (приложение Е); это оправдано тем, что на малых расстояниях КХД переходит в свободную квантовопетлевевую теорию
L
a
±
(t)=:
1
0
x
ll'
q
l±
(x)γ
0
λ
a
ll'
q
l'±
(x): , t=x
0
.
(29.11)
В этих операторах можно узнать заряды, соответствующие токам
J
aμ
±
(x)=:
ll'
q
l
(x)λ
a
ll'
γ
μ
1±γ5
2
q
l'
(x): .
(29.12)
Если рассматриваемая симметрия точная, то μJaμ±=0; тогда легко видеть, что величины La±(t) в действительности не зависят от времени. Иначе, нужно определить одновременные преобразования и модифицировать уравнения (29.9) и (29.10), например, так:
[L
a
±
(t),q
l±
(x)]=-
l'
λ
a
ll'
q
l'±
(x) , t=x
0
.
(29.13)
Совокупность преобразований
U
±
(θ,t)=exp
-i
2
L
a
±
(t)θ
a
образует так называемую группу киральных преобразований, генерируемых токами (29.12). В рассматриваемом случае кварков трех ароматов n=3, мы приходим к группе киральных преобразований SU+F(3)×SU-F(3). Ее генераторы можно выразить, исходя из набора векторных и аксиальных токов43) Vμll' и Aμll' , введенных в § 10. Важной подгруппой группы SU+F(3)×SU-F(3) является генерируемая векторным током подгруппа, представляющая собой просто группу аромата SUF(3), введенную Гелл-Манном и Нееманом.
43) Не все диагональные элементы принадлежат группе SUF(3)×SUF(3), но они принадлежат группе UF(3)×UF(3).
Точность соблюдения симметрии связана с независимостью от времени зарядов L± , которые в свою очередь связаны с дивергенциями токов. Кроме диагональных аксиальных токов, эти дивергенции пропорциональны разностям кварковых масс ml-ml' для векторных токов и суммам кварковых масс ml+ml' для аксиальных токов (см. (10.5)). Таким образом, можно заключить, что группа симметрии SUF(3) достаточно точна до тех пор, пока выполнено неравенство |ml-ml'|²Λ², а группа киральной симметрии SU+F(3)×SU-F(3) до тех пор, пока выполнено условие m²lΛ². По-видимому, разность масс имеет тот же порядок величины, что и сами массы, поэтому ожидается, что киральная симметрия выполняется почти с той же степенью точности, что и симметрия по ароматам. Кажется, это действительно так44).
44) Киральная симметрия и киральная динамика представляют собой предмет специального изучения. Здесь мы касаемся только тех аспектов, которые имеют отношение к КХД. При этом многие важные применения опускаются. Заинтересованный
читатель может обратиться к работам [213, 228] и цитируемой там литературе.
§ 30. Симметрии Вигнера - Вейля и Намбу - Голдстоуна
Из того, что киральная симметрия SU(3) и симметрия по ароматам кварков SUF(3) обладают одинаковой степенью точности, не следует, что эти симметрии реализуются одинаково. В действительности, как будет показано, существуют веские теоретические и экспериментальные причины, обуславливающие значительную разницу между ними.
Начнем с введения зарядов, обладающих определенной четностью:
Q
a
=L
a
+
+L
a
-
, Q
a
5
=L
a
+
-L
a
-
.
(30.1)
Одновременные коммутационные соотношения для них имеют вид
[Q
a
(t),Q
b
(t)]
=
2i
ƒ
abc
Q
c
(t) ,
[Q
b
5
(t),Q
b
5
(t)]
=
2i
ƒ
abc
Q
b
5
(t) ,
[Q
a
(t),Q
b
5
(t)]
=
2i
ƒ
abc
Q
c
(t) .
(30.2)
Набор операторов Qa образует группу SUF(3). В пределе ml0 все генераторы Q и Q5 не зависят от времени t и коммутируют с лагранжианом:
[Q
a
,]=[Q
a
5
,]=0 .
(30.3)
Однако различие между ними состоит в том, как эти операторы действуют на вакуумное состояние. В общем случае, если имеется совокупность генераторов Lj преобразований симметрии лагранжиана, мы имеем два возможных результата их действия на вакуумное состояние:
L
j
|0=0
(30.4)
и
L
j
|00
(30.5)
Первый случай соответствует реализации симметрии Витера Вейля, а второй реализации симметрии Намбу Голдсмоуна. Конечно, в общем случае оба эти типа реализации симметрии могут присутствовать одновременно; часть генераторов Li, i=1,,r , удовлетворяет равенству (30.4), а остальные генераторы Lk, k=r+1,,n , удовлетворяют равенству (30.5). Очевидно, что если операторы L1 и L2 удовлетворяют равенству (30.4), то этому же равенству удовлетворяет и их коммутатор. Следовательно, совокупность преобразований симметрий Вигнера - Вейля представляет собой подгруппу.