=
n
l=1
m
l
q
l
q
l
.
(29.3)
Записанный в таком виде, массовый член инвариантен относительно совокупности преобразований [U(1)]n:
q
i
e
iθi
q
l
(29.4)
но он не инвариантен, если допустить существование в массовой матрице недиагональных членов. Чтобы решить вопрос о том, какими общими инвариантными свойствами обладает массовый член общего вида, докажем две теоремы.
Теорема 1. Любую массовую матрицу общею вида можно записать в виде (29.3), проведя подходящее переопределение кварковых полей. Кроме того, можно допустить, что m0. Поэтому выражение (29.3) фактически является массовым членом самого общего вида.
Доказательство. Пусть левые и правые кварковые поля определяются формулами
q
L
=
1
2
(1-γ
5
)q , q
R
=
1
2
(1+γ
5
)q .
Наиболее общий массовый член, совместимый с условием эрмитовости лагранжиана, имеет вид
'=
ll'
q
iL
M
ll'
q
l'R
+
q
iR
M*
ll'
q
lL
.
(29.5)
Пусть матрица M имеет компоненты Mll' . На основании хорошо известного полярного разбиения матриц можно написать
M=mU
,
где матрица m положительно определена, поэтому все ее собственные значения больше нуля, а матрица U унитарна. Тогда выражение (29.5) принимает вид
'=
q
iL
m
ll
q'
l'R
+
q
'
iR
M*
ll'
q
l'L
, q'
lR
=
l'
U
ll'
q
l'R
,
(29.6)
где использовано свойство самосопряженности матрицы m. Переопределим поля по формуле q'=q'R+qL ; тогда выражение (29.6) в терминах полей q' примет вид
'=
q
'
l
m
ll'
q'
r
,
где использовано равенство qRqR=qLqL=0. Теперь для того, чтобы получить формулу (29.3), достаточно преобразовать поля q', используя для этого матрицу V, диагонализующую матрицу m. Положительность значений величин ml следует из того, что они являются собственными значениями матрицы m. (Отметим, что член qD q в лагранжиане инвариантен относительно преобразований такого вида.)
Теорема 2. Если все массы ml имеют различные ненулевые зиачения, то единственными преобразованиями, оставляющими массовых член инвариантным, являются преобразования [U(1)]n вида (29.4).
Предположим, что W+=W-=W; проверку этого равенства оставляем читателю в качестве упражнения. Условие инвариантности массовой матрицы приводит к соотношению
W+mW=m
, т.е
mW=Wm
.
(29.7)
Известно, что любую диагональную матрицу можно записать в виде n-1k=0ckmk если все собственные значения матрицы m различны и не равны нулю, как это имеет место в нашем случае. Из соотношения (29.7) следует, что матрица W коммутирует со всеми диагональными матрицами, а следовательно, она сама должна быть тоже диагональной. Поскольку эта матрица является еще и унитарной, она может быть записана в виде произведения преобразований (29.4), что и требовалось доказать. Проверку того, что сохраняющейся величиной,
соответствующей преобразованию U(1), действующему на поле кварка qƒ, является соответствующее квантовое число аромата, оставляем читателю в качестве упражнения.
При доказательстве приведенных теорем мы не беспокоились о том, являются ли массы m голыми, бегущими или инвариантными. Это обусловлено тем, что в перенормировочной схеме MS массовая матрица перенормируется как одно целое по формуле
M
=Z
-1
m
M
u
,
где коэффициент Zm - число. Доказательство очень простое. Фактически для этого нужно только повторить рассуждения § 7 - 9 и 14, учитывая матричный характер величин M и Zm . В произвольной ковариантной калибровке для расходящейся части кваркового пропагатора получим
S
ξ
R
(p)
=
i
p -M
+
i
p -M
-[
Δ
F
(
p
-
M
)+(
p
-
M
)
Δ
+
F
]-δ
M
-
(1-ξ)(
p
-
M
)N
ε
C
F
g²
16π²
+3N
ε
C
F
M
g²
16π²
i
p -M
,
где введены обозначения
M
=
M
u
+δ
M
,
Z
F
=1+
Δ
F
.
Условия перенормировки приводят тогда к соотношениям
Δ
+
F
+
Δ
F
=-(1-ξ)N
ε
C
F
g²
16π²
диагональна,
Δ
F
M
=
MΔ
F
,
M
δ
M
=(δ
M
)M ,
Δ
M
=3N
ε
C
F
g²
16π²
M
.
Таким образом, совокупность фермионных полей и массовая матрица преобразуются как одно целое, а перенормировочные множители имеют вид
Z
-1
F
1+N
ε
C
F
g²
16π²
,
Z
m
1-N
ε
C
F
g²
16π²
,
(29.8 а)
т. e.
Z
F
=Z
F
1
,
Z
m
=Z
m
1
.
(29.8б)
Этот результат доказан в низшем порядке теории возмущений, но уравнения ренормгруппы обеспечивают его справедливость и в ведущем порядке по константе связи αs .
Этот результат можно объяснить и другим способом. Инвариантность лагранжиана относительно преобразований (29.4) подразумевает, что контрчлены всегда можно выбрать так, чтобы они обладали инвариантностью относительно этих преобразований; поэтому массовая матрица после перенормировки по-прежнему останется диагональной. Фактически это доказательство свидетельствует о том, что в не зависящей от масс перенормировочной схеме (подобной схеме MS) уравнения (29.86) в действительности справедливы во всех порядках теории возмущений.
Полученные нами результаты показывают, что, если все массы m̂l различны и не равны нулю42в), единственная глобальная симметрия, которой обладает лагранжиан, связана с сохранением такого квантового числа, как аромат, и описывается преобразованиями (29.4). Однако, как утверждалось выше, пренебрежение массами кварков ml может представлять собой достаточно хорошую аппроксимацию. В таком случае все преобразования, представленные соотношениями (29.2), оказываются преобразованиями симметрии лагранжиана. Степень нарушения симметрии определяется, например, дивергенциями соответствующих генераторов. Хотя этот вопрос уже рассмотрен в § 10, мы приведем