(28.5)
Если mΛ, то справедливо приближенное равенство
D
tr
q²;g(ν),m(ν);ν²)
K+
αs(Q²)TF
π
log
m²(Q²)
Λ²
2
log Q²/Λ²
.
(28.6)
Если m²Q², то поправки к константе K в формуле (28.6) велики, и такое приближение становится малопригодным. Этого и следовало ожидать: схема перенормировок MS так же, как и любая другая не зависящая от масс перенормировочная схема (подобная схеме, предложенной в работе [258]), с неизбежностью разрушает сходимость в случае, если существует масса, превышающая характерный масштаб импульсов. Решение этой проблемы заключается в использовании числа кварковых ароматов nƒ зависящего от масштаба импульсов, например 42а)
42а) Возможны и другие интерполяционные формулы или процедуры (см. [76] и особенно работу [258], где можно найти подробное обсуждение этого вопроса, включая вычисление зависимости от эффективного значения nƒ). Какой из интерполяционных формул пользоваться, в значительной мере безразлично, так как в КХД зависимость всех величин от nƒ в области nƒ=3-6 очень слабая.
n
ƒ
(Q²)=
nƒ
ƒ=1
1-
4m̂
2
ƒ
Q²
½
1+
2m̂
2
ƒ
Q²
θ(Q²-4m̂
2
ƒ
).
(28.7)
Необходимо доказать, что такая процедура последовательна. Что формула (28.7) справедлива для значений Q бо́льших, чем все массы кварков, мы уже знаем; поправки имеют величину O(m̂²q/Q²). Завершим доказательство, показав, что эта формула справедлива и для случая Q²m². Рассмотрим с этой целью выражение для глюонного пропагатора. Отсюда будет ясно, как распространить доказательство на общий случай.
Поскольку вклады кварков и глюонов в выражение для глюонного пропагатора Dtr аддитивны, достаточно рассмотреть только первый из них. В ведущем порядке теории возмущений имеем
D
(кварки)
tr
=1-
αg
π
1
0
x x(1-x)log
x(1-x)Q²+m̂²
ν²
(28.8)
В этом порядке необходимости учета перенормировки величин ag или m не возникает. Для случая Q²m̂² получаем
D
(кварки)
tr
=1-
αg
6π
log
m̂²
μ²
-
αg
30π
Q²
m̂²
,
(28.9)
т.е. результат, постоянный с точностью до членов O(Q²/m̂²). Следовательно, с точностью до этих членов он совпадает с глюонным пропагатором, вычисленным для нулевого числа ароматов, но имеет другое значение параметра ν'², а именно ν'²=ν²{1+log m̂²/nu²}. Так как физические наблюдаемые не зависят от значения ν, тяжелыми кварками, приводящими только к членам O(Q²/m̂²), можно пренебречь .
Случай глюонного пропагатора особенно прост; в общем случае поправки имеют величину порядка log(m̂²/Q²)(Q²/m̂²).
Теорема "развязки" особенно наглядна в μ-схеме перенормировок. Рассмотрим снова вклад кварков в выражение для глюонного пропагатора. Проводим вычисления во втором порядке теории возмущений и, вспоминая выражение (9.21), получаем
D
(кварки)
u tr
(q²)
=
i+T
F
g²
16π²
2
3
N
ε
n
ƒ
-4
1
0
x x(1-x)
×
nƒ
ƒ=1
log
m
2
ƒ
-x(1-x)q²
μ
2
0
+ .
Напомним, что μ-схема перенормировок возникает, если потребовать выполнения условия D(кварки)R tr(q²=-μ²)=Dсвоб. tr(-μ²), а следовательно справедливо равенство
D
(кварки)
R tr
i+T
F
g²
16π²
-4
1
0
x x(1-x)
ƒ
m
2
ƒ
-x(1-x)q²
m
2
ƒ +x(1-x)μ²
Положим Q²=-q². В случае, когда Q², μm²ƒ, справедливо приближенное равенство
1
0
x x(1-x) log
m
2
ƒ
-x(1-x)Q²
m
2
ƒ +x(1-x)μ²
1
6
log
Q²
μ²
+O
m
2
ƒ
μ²
,
m
2
ƒ
Q²
;
для случая m²ƒμ²,Q² имеем
1
0
x x(1-x)
log
m
2
ƒ
-x(1-x)Q²
m
2
ƒ +x(1-x)μ²
O
μ²
m
2
ƒ
,
Q²
m
2
ƒ
;
§ 29. Массовые члены и свойства инвариантности; киральная инвариантность
В § 28 мы видели, что при энергиях QΛ,, когда теория возмущений по бегущей константе связи может иметь смысл, можно пренебречь существованием кварков с массами mQ. В этом параграфемы рассмотрим противоположный случай, когда массы кварков удовлетворяют условию mΛ. Поскольку единственным размерным параметром в квантовой хромодинамике, как мы полагаем, является параметр обрезания Λ42б), можно ожидать, что в некотором приближении допустимо пренебречь массами этих легких кварков, которые могут привести к поправкам лишь порядка m²/Λ² или m²/Q².
42б) Неясно, конечно, какой из параметров: Λ или параметр Λ0 , определяемый формулой αs(Λ²0)1, является основным. Смысл неравенства mΛ также неоднозначен. Очевидно, что ΛΛ0 , поэтому в действительности, помимо эвристических соображений, нет никаких указаний, которые помогли бы решить, какие кварки считать легкими в промежуточных случаях. Почти нет сомнений в том, что кварки u и d следует отнести к типу "легких"; в отношении кварка s ситуация менее ясна.
Вернемся к вопросам, обсуждавшимся в § 10. Рассмотрим лагранжиан КХД
=
-
n
l=1
m
l
q
l
q
l
+i
n
l=1
q
l
D
q
l
-
1
4
(D×B)²
+
члены, фиксирующие калибровку,
+
ду́хи.
(29.1)
Суммирование проводится только по легким кваркам, массы которых удовлетворяют неравенству m̂²Λ². Возможное существование тяжелых кварков никак не сказывается на дальнейших рассуждениях. Рассмотрим совокупность преобразований W+ в группе UL(n)×UR(n) (произведение левых и правых преобразований)
1±γ5
2
q
i
l'
W
±
ll'
1±γ5
2
q
l'
,
(29.2)
где W± унитарные матрицы. Очевидно, что единственным членом лагранжиана, неинвариантным относительно преобразований (29.2), является массовый член