K
-m
2
π
)}log
t
M²
.
(27.21 б)
Здесь первый член имеет аксиально-аксиальный характер, второй описывает вклад смешанных операторов; но оба они в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (если использовать простую факторизацию). Эти два примера (вклад операторов следующего за ведущим твиста в пионный формфактор и скалярный формфактор (27.21)) показывают, что в отличие от инклюзивных процессов эксклюзивные процессы чрезвычайно чувствительны к инфракрасным расходимостям, и для каждого конкретного процесса следует проверять, применима ли непосредственно теория возмущений КХД или нет. Учитывая эти замечания, завершим настоящий параграф очень короткой сводкой результатов для некоторых эксклюзивных процессов.
Из примера рассмотрения пионного формфактора можно вывести общее правило: амплитуда эксклюзивного процесса имеет вид (рис. 24, д)
φ
+
Kφ ,
где φ волновая функция связанного состояния B:
φ0|Tq
1
(x
1
)q
n
(x
n
)|B ,
ядро уравнения K определяется формулой
K
αsQ²
Q²
n-1
.
Отсюда возникают правила счета [52], согласно которым, например, для нуклонного формфактора получаем знаменитое дипольное поведение
F
N
αs(-t)
-t
2
,
а для дейтона формфактор определяется формулой
F
d
αs(-t)
-t
5
,
которая совпадает с экспериментально полученными результатами. Сечение рассеяния на заданный угол имеет вид
σ(A+BC+D)
t
θ fixed
α
2
s
(t)
-t
F
A
(t)F
B
(t)F
C
(t)F
D
(t)ƒ(θ) .
Дальнейшие подробности и ссылки на литературу можно найти в работе [54]. Многие из этих результатов сформулированы с большей степенью строгости, исходя из ренормгруппового анализа [103] (см. также обзор [101] и цитируемую там литературу).
Глава IV. МАССЫ КВАРКОВ, ЧАСТИЧНОЕ СОХРАНЕНИЕ АКСИАЛЬНОГО ТОКА, КИРАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И ВАКУУМ КХД
§ 28. Тяжелые и легкие кварки; теорема Симанзика Аппепквиста Каррадзоне
Схема перенормировок MS не зависит от масс кварков; следовательно, при вычислении таких величин, как ренорм групповая бета-функция βn или аномальная размерность γ(n), нужно учитывать кварки всех ароматов. Для простоты сосредоточимся на β-функции и будем проводить выкладки в аксиальной калибровке, так что всю зависимость от квадрата переданного 4-импульса Q² можно получить, рассмотрев только глюонный пропагатор. Кроме того, упростим обсуждение, введя в рассмотрение кварки только двух ароматов, один из которых безмассовый m̂l=0, а другой тяжелый m̂hΛ. Тогда в схеме перенормировок MS для бегущей константы связи получаем
α
s
(Q²,Λ²)
=
12π
(33-2nƒ) log Q²/Λ²
{1-} ,
(28.1)
где nƒ=2. Естественно предположить, что использование значения nƒ=2 приводит к правильному выражению для бегущей константы связи αs при Q mh , но существует область значений переданного импульса mh Q Λ для которой лучше использовать значение nƒ=1 в формуле (28.1). Это становится очевидным, если взять массу тяжелого кварка mh экстремально большой, например равной 1 г. Ясно, что физика микромира едва ли может зависеть от того, существуют или нет столь массивные частицы.
Это утверждение составляет основное содержание теоремы, доказанной Симанзиком [240] и вновь открытой Аппелквистом и Каррадзоне [17]41в), согласно которой в случае Qmh существованием таких тяжелых кварков можно пренебречь с точностью до членов порядка Q²/m²h . Формула (28.1) в приведенном выше виде справедлива только в случае Q²m², где m- любая подходящая масса, в частности масса тяжелого кварка mh . Если мы хотим сохранить функциональную форму (28.1), необходимо допустить иную зависимость от переменной Q², более сложную, чем просто логарифмическая.
41в) В действительности этот результат, по существу, содержался уже в работе [182]. Обсуждение этой теоремы с использованием функциональных методов см. в работе [262].
Так как указанная проблема возникает в результате пренебрежения массами кварков, мы должны вновь вывести формулу (28.1), но с учетом масс кварков. Напоминаем, что бегущая константа связи определялась выражением αs=g2/4π, где g представляет собой решение уравнений (12.6):
g
log Q/ν
=
g
β(
g
) ,
g
Q=ν
=g(ν) ,
(28.2 а)
где
ν
ν
g(ν)=g(ν)β(g(ν)) , β=-Z
-1
g
ν
ν
Z
g
.
(28.2 б)
Рассмотрим поведение поперечной части глюонного пропагатора, которую мы обозначим так же, как в выражении (6.9). Введя обозначение Q/ν=λ, из уравнений (12.1) и (12.7) получаем
D
tr
(q²;g(ν),m(ν);ν²)
=
D
tr
(ν²;
g
(λ),
m
(λ);ν²)exp
-
log λ
0
log λ'γ
D
[
g
(λ')]
.
(28.3)
В используемой нами физической калибровке (см. (9.18)) аномальная размерность глюонного пропагатора равна γD=2β0g²/16π², а, следовательно, поперечная часть глюонного пропагатора определяется выражением
D
tr
(q²;g(ν),m(ν);ν²)
=
2
Q²/ν²
D
tr
(ν²;
g
(λ),
m
(λ);ν²).
(28.4)
Рассмотрев пропагатор в точке p=m, получаем следующий результат42):
42) Здесь и ниже из выражения для пропагатора исключен общий множитель 1/q2 . Прим. перев.
D
tr
(ν²;
g
(λ),
m
(λ);ν²)
=
K
ν
+
2αs(Q²)TF
π
×
1
0
x x(1-x)log
m²+x(1-x)ν²
ν²
,
где Kν - константа. Сначала выберем ν=Λ; тогда
D
tr
(q²;g(ν),m(ν);ν²)
=
2
log Q²/Λ²
K+
2αs(Q²)TF
π
×
1
0
x x(1-x)log
x(1-x)+
m²(Q²)
Λ²
.