ƒ
NS
2
(x,Q²)
=
B
0NS
[α
s
(Q²)]
-d(1-λ)
(x
λ
-x
μNS(αs)
)
+
A
0NS
[α
s
(Q²)]
-d0
Γ(ν0NS+1)
Γ(νNS(αs)+1)
x
μNS(αs)
(1-x)
νNS(αs)
,
(24.2 а)
ƒ
F
2
(x,Q²)
=
B
0F
[α
s
(Q²)]
-d+(1+λs)
(x
-λs
-x
μF(αs)
)
+
A
0S
[α
s
(Q²)]
-d0
Γ(νNS+1)
Γ(νs(αs)+1)
x
μF(αs)
(1-x)
νs(αs)
,
(24.2 б)
ƒ
V
2
(x;Q²)
=
B
0F
d+(1+λs)-DFF(1+λs)
DFV(1+λs)
[α
s
(Q²)]
-d+(1+λs)
×
(x
-λs
-x
μV(αs)
)+
2
5
A
0S
[α
s
(Q²)]
-d0
x
-μν(αs)
Γ(νNS+1)
Γ(νS(αs)+2)
×
(1-x)νS(αs)+1
1+|log(1-x)|
,
(24.2 в)
где
ν
i
(α
s
)=ν
0i
-
16
33-2nƒ
log α
s
(Q²) , i=S,NS ,
(24.2 г)
а параметр λ связан с траекторией Редже ρ соотношением λ1-αρ(0)0.5; величину μ можно выразить через другие константы, используя для этого правила сумм, изложенные в § 23. Таким образом, мы получили набор простых выражений, параметризующих три структурные функции: ƒNS2 , ƒF2 , ƒV2 , исходя из семи параметров: ν0NS , ν0S , A0S , A0NS , B0NS , B0F , λs (кроме параметра обрезания Λ). Их следует выбрать так, чтобы вопроизвести экспериментальные результаты. На самом деле, даже не увеличивая числа параметров, можно вычислить и продольную структурную функцию ƒL . Поэтому тот факт, что удается добиться согласия с экспериментальными данными, является важной проверкой КХД40). Сравнение экспериментальных данных с теоретическими параметризациями представлено на рис. 19 а.
40) В частности, потому, что при этом можно утверждать, что значения параметров ν0NSν0S2-2.5, 0 dNS(1)=0, нужно сохранить только один член в (27.18), так что получаем результат
A
n
(Q²)
Q²
S
n0
Â
00
откуда следует предельное соотношение
1
0
ξ
Ψ(ξ,Q²)
1-ξ
Q²
Â
00
n=0
S
n0
.
Легко убедиться, что элементы Sn0 матрицы S имеет вид
S
n0
=
1
n+2
-
1
n+3
.
Кроме того, известен также элемент Â00 . Из уравнений, основанных на гипотезе о частичном сохранении аксиального тока (см. § 31, в частности (31.26)), следует равенство
(2π)
3/2
0|
d
(0)γ
λ
γ
5
u(0)|π(p)
=ip
λ
2
ƒ
π
, ƒ
π93 МэВ
поэтому величина
A
0
=
1
0
ξΨ(ξ,Q²)=
2
ƒ
π
не зависит от Q2 . Отсюда получаем Â00=62ƒπ .
Окончательный результат имеет вид41б)
41б) В своем изложении мы следуем работам [53, 105, 116]. Тот же результат можно получить, используя так называемую теорию возмущений на световом конусе [54].
F
π
(t)
Q²
12πC
F
ƒ
2
π
α
s
(-t)
-t
.
(27.19)
Поправки к этой формула имеют величину O(αdNS(3)s=α0,6s); в действительности для четных значений n в силу зарядового сопряжения результат оказывается равным нулю.
Пример вычисления пионного формфактора полезен в нескольких отношениях. Из сравнения выражения (27.19) с экспериментальными результатами видно, что теоретическое значение слишком мало. Это, конечно, можно отнести на счет следующих за ведущими пертурбативных поправок. Однако, по-видимому, происходит нечто иное, а именно поправки, связанные с операторами высших твистов, вследствие малости масс кварков u и d становятся чрезвычайно существенными. Действительно, рассмотрим вклад псевдоскалярного члена в выражение (27.10). Смешанный член дает вклады, подавленные по сравнению с выражением (27.19) множителем m²π/t , и им можно пренебречь; но псевдоскалярно-псевдоскалярный вклад содержит квадрат матричного элемента 0|dγ5u|π, который, как легко убедиться, используя уравнение движения, пропорционален величине ƒπm²π(mu+md). Повторяя проведенный выше анализ; получаем результат
F
π
(t)
=
12πC
F
ƒ
2
π
α
s
(-t)
-t
1+
4m
4
π
log(-t/m
2
π
)
-(mu+md)²t
.
(27.20)
Хотя выражение (27.20) при разумном выборе кварковых масс можно привести в согласие с экспериментальными данными, но этот результат трудно принимать всерьез, так как вклады от операторов высших твистов в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (фактически мы здесь имеем массовую сингулярность); простая факторизация, использованная при выводе (27.20), здесь не применима. Таким образом, коэффициент перед поправкой пока неизвестен.
"Жесткая" часть пионного формфактора, очевидно, расходится в инфракрасном пределе (член 1/(1-ξ) в выражении (27.15). Но, к счастью, в ведущем порядке теории возмущений выполняется соотношение
1
0
ξΨ(ξ,Q²)ξ
n
Q²
S
n0
Â
00
,
откуда следует предельное соотношение
Ψ(ξQ²)
Q²
ξ(1-ξ)Â
00
и возможные расходимости сокращаются. Поэтому некоторые эксклюзивные процессы в конечном счете все же поддаются расчетам в рамках простой теории возмущений. Однако, как видно из члена, описывающего в (27.20) вклад операторов твистов, следующих за ведущим, это не всегда справедливо. В действительности для некоторых процессов инфракрасные расходимости появляются уже на уровне операторов ведущего твиста. Например, можно рассмотреть скалярный формфактор
D(t)=(2π)
-3
π|σ
us
(0)|K
0
, σ
us
=
i
μu(x)
γ
μ
s(x),
(27.21 а)
Вычисления этой величины аналогичны вычислениям пионного формфактора. Единственное отличие связано с присутствием смешанного псевдоскалярно-аксиальновекторного вклада (номинально высшего твиста), который в действительности является ведущим. Используя соотношения, основанные на частичном сохранении аксиального тока (§ 31), находим
D(t)
12πCFαs(-t)ƒπƒK
-t
{(
m
2
s
-
m
2
u
)+(m
2