M
R
p
=
Z
M
Z
-1
F
M
0
p
+
iM
0
p
g
2
C
F
d
D
k̂
-γ
μ
(
p
+
k
)(
p
+
k
)γ
μ
k
2
(p+k)
4
+S
u
(p)+S
u
(p)
.
(13.4)
где
M
0
:
q
0
q
0
: .
Рис. 9. Перенормировка оператора qq.
Соответствующие фейнмановские диаграммы приведены на рис. 9. Первое слагаемое правой части (13.4) соответствует диаграмме рис. 9, а , два последних слагаемых - диаграмме рис. 9, б, а интеграл соответствует диаграмме рис. 9, в. Вычисления проведены в приближении безмассовых кварков. Легко убедиться в том, что пренебрежение массой кварков не влияет на характер расходимостей. Очевидно, что расходящаяся часть одного из кварковых пропагаторов Su в правой части (13.4) точно сокращается с фермионным перенормировочным множителем ZF; таким образом, остается только расходимость, связанная с интегралом:
-iC
F
g
2
d
D
k
(2π)
D
ν
4-D
0
γ
μ
γ
μ
k
2
(p+k)
2
div
=
4g
2
C
F
16π
2
Γ(ε/2)(4π)
ε/2
ν
ε
0
.
Добавляя вклад от расходимости, обусловленной вторым кварковым пропагатором Su , получаем
Z
M
(ν)=1-
3C
F
α
g
4π
2
ε
+log 4π-γ
E
-log ν
2
/ν
2
0
.
(13.5)
Вычисление перенормировочного множителя ZM проведено в калибровке Ферми-Фейнмана, но нетрудно убедиться, что он является величиной, не зависящей от калибровки.
Если бы мы провели вычисления не для величины qq, а, скажем, для величин qγμq или qγμγ5q' , то получили бы, что аномальные размерности этих операторов равны нулю. Как уже говорилось, это утверждение является частным случаем общего результата, к доказательству которого мы переходим. Пусть ток Jμ представляет собой квазисохраняющийся оператор, т.е. в пределе, когда массы частиц стремятся к нулю, он удовлетворяет условию μJμ(x)=0. Рассмотрим какое-нибудь хронологическое произведение произвольных полей Φi и тока Jμ
ΤJ
μ
(x)Φ
1
(y
1
)Φ
N
(y
N
) .
Тогда, используя соотношение 0θ(x0-y0) = δ(x0-y0), можно получить тождество Уорда
ΤJμ(x)Φ1(y1)ΦN(yN)
=
Τ(
μ
J
μ
(x))Φ
1
(y
1
)Φ
N
(y
N
)
+
N
k=1
δ(x
0
-y
0
k
)ΤΦ
1
(y
1
)
[J
0
(x),Φ
k
(y
k
)]
Φ
N
(y
N
) .
(13.6)
Пусть справедливо равенство
δ(x
0
-y
0
k
)[J
0
(x),Φ
k
(y
k
]
=
Φ'
k
(y)
k
δ(x-k
k
) ;
тогда, если множители ZJ и ZD представляют собой аномальные размерности тока Jμ и его дивергенции μJμ соответственно, а множители γJ и γD являются коэффициентами перед членом -(g2/16π2)Nε в выражениях для ZJ и ZD, то, применяя к левой и правой частям (13.6) оператор νd/dν, получаем
γ
J
μ
ΤJ
μ
(x)Φ
1
(y
1
)Φ
N
(y
N
)
=
Τ
γ
m
m
m
μ
J
μ
(x)
Φ
1
(y
1
Φ
N
(y
N
)
+
γ
D
Τ(
μ
J
μ
(x))Φ
1
(y
1
)Φ
N
(y
N
) .
(13.7)
Уравнение (13.7) может выполняться только в том случае, если γJ=0, а множители γD и γm удовлетворяют условию
γ
D
μ
J
μ
=-
γ
m
m
m
μ
J
μ
.
(13.8)
Уравнение (13.8) можно проверить для частного случая, когда ток Jμ записывается в виде Jμ=qγμq' . При этом используем полученное выше выражение для дивергенции тока
μJμ = i(m-m')qq,
а также явный вид аномальной размерности γm , которая вычислена в § 14. Или же можно учесть соотношения (9.17) и (11.6), чтобы убедиться в том, что во втором порядке теории возмущений выполняются равенства
muD(qq)uD
= mRZm(qq)uD = MRZM(qq)uD = MR(qq)R ,
с перенормировочным множителем Zm , равным только что вычисленному множителю ZM .
§14. Бегущая константа связи и бегущая масса в КХД; асимптотическая свобода
Вернемся к уравнениям (12.6) и (12.7). Чтобы решить уравнение (12.6), предположим, что при некотором значении параметра ν перенормированная константа связи достаточно мала для того, чтобы фуыкции β, γ, δ, можно было разложить в ряд по степеням константы связи g(ν) :
β
=
-
β
0
g
2
(ν)
16π
2
+β
1
g
2
(ν)
16π
2
2
+β
2
g
2
(ν)
16π
2
3
+
,
γ
m
=
γ
(0)
m
g
2
(ν)
16π
2
+γ
(1)
m
g
2
(ν)
16π
2
2
+ ,
δ
=
δ
(0)
g
2
(ν)
16π
2
+δ
(1)
g
2
(ν)
16π
2
2
+ .
(14.1)
Значение коэффициента β0 можно получить из выражений (9.30) и (12.4):
β
0
=
1
3
{11C
A
-4n
ƒ
Τ
F
}
=
1
3
(33-2n
ƒ
) .
(14.2 а)
Используя результат вычислений перенормировочного множителя Zg во втором [64, 179] и в третьем [241] порядках теории возмущений, для коэффициентов β1 и β2 получаем следующие выражения 21а):
21а) Значения коэффициентов β0 и β1 не зависят от перенормировочной схемы; выражение для коэффициента β2 выписано для случая схемы MS.
β
1
=
34
3
C
2
A
-
20
3
C
A
Τ
F
n
ƒ
-4C
F
Τ
F
n
ƒ
=102-
38
3
n
ƒ
;
β
2
=
2857
54
C
3
A
-
1415
27
C
2
A
Τ
F
n
ƒ
+
158
27
C
A
Τ
2
F
n
2
ƒ
-
205
9
C
A
C
F
Τ
F
n
ƒ
+
44
9
C
F
Τ
2
F
n
2
ƒ
+2C
2
F
Τ
F
n
ƒ
=
2857
2
-
5033
18
n
ƒ
+
325
54
n
2
ƒ
.
(14.2 6)
Вычислим эффективную константу g в низшем порядке теории возмущений. Введем стандартное обозначение αS=g2/4π. Уравнение (12.6а) в низшем порядке теории возмущений имеет вид
d
g
d
log λ
=
-β
0
g
3
16π
2
,
и при λ2=Q2/ν2 приводит к следующему результату для эффективной константы связи:
αs(Q2)
αg(ν)
d
α
s
α
s
2
=
-β
0
2π
(1/2)log Q2/ν2
0
d
log λ' ,
α
s
(Q
2
)=
α
g
(ν)
1+α
g
β
0
(log Q
2
/ν
2
)/4π
.
(14.3)
Последнее выражение удобно записать через инвариантный параметр Λ, выбирая его таким образом, чтобы оно приняло вид
α
s
(Q
2
)=
4π
β
0
log Q
2
/Λ
2
;
Λ
2
=ν
2
e
-4π/β0αg(ν)
.
(14.4 а)