Подставляя выражение для коэффициента β0 , получаем следующую формулу, описывающую зависимость константы связи αs от переданного 4-импульса Q:
α
s
(Q
2
)=
12π
(33-2n
ƒ
)log Q
2
/Λ
2
(14.4 б)
Если учесть члены второго порядка малости по константе связи αg в разложении для ренормгрупповой (β -функции (член (g2(ν)/16π2)2 в ( 14.1)), то для бегущей константы связи получим
α
(2)
s
(Q
2
)
=
12π
(33-2n
ƒ
)log Q
2
/Λ
2
1-3
153-19n
ƒ
(33-2n
ƒ
)
2
log log Q
2
/Λ
2
½log Q
2
/Λ
2
.
(14.4 в)
Мы видим, что αs(2)(Q2)/αs(Q2)1 и оба выражения (14.46) и (14.4в) логарифмически стремятся к нулю в пределе (Q2)22). В этом и состоит проявление замечательного свойства квантовой хромодинамики явления асимптотической свободы, которое впервые обсуждалось в работах Гросса и Вильчека [160] и Политцера [218]. С учетом выражения (12.7) оно означает, что при больших пространственноподобных импульсах λpiq, q2=-Q2 квантовая хромодинамика представляет собой свободную квантовополевую теорию с точностью до логарифмических поправок. Более того, в пределе (Q2) константа связи α0. Следовательно, эти поправки можно вычислить в виде ряда теории возмущений по малой константе связи αs.
22) При условии, что число ароматов nƒ16. Это ограничение достаточно слабое и легко выполнимое. Экспериментально пока обнаружены кварки пяти ароматов. Современная теория предсказывает существование шестого, так называемого t -кварка. (Указания на экспериментальное обнаружение t -кварка получены в анализе адронных струй на pp-коллайдере. Прим. перев.)
Можно также вычислить бегущую массу. В низшем порядке теории возмущений потребуем выполнения соотношений (12.2), (12.6) и (9.14). Тогда получим
1
m
d
m
d
log λ
= γ
(0)
m
g
2
16π
2
=
γ
(0)
m
2β
0
log λ
.
Используя выражение (14.4а), полагая log Q2/Λ2=2log λ и вводя константу интегрирования m̂ (которая представляет собой аналог параметра Λ), получаем выражение для эффективной массы
m
(Q
2
)=
m̂
(½log Q
2
/Λ
2
)
-γ(0)m/β0
, γ
(0)
m
=-3C
F
.
(14.5 а)
Подставляя значения коэффициентов β0 и γm, окончательно имеем
m
(Q
2
)=
m̂
(½log Q
2
/Λ
2
)
dm
, d
m
=
12
33-2n
ƒ
,
(14.5 б)
где коэффициент dm иногда называют аномальной размерностью массы.
Аналогично можно вычислить бегущий калибровочный параметр. Подробное вычисление можно найти в работе [209]. Приведем лишь результат
ξ
Q
2
=
1-
1
λ̂ (½log Q
2
/Λ
2
)
dε
1+
9
39-4n
ƒ
1
λ̂ (½log Q
2
/Λ
2
)
dε
-1
,
d
ε
=
1
2
39-4n
ƒ
33-2n
ƒ
.
В заключение этого параграфа приведем результат вычисления эффективной массы m(2) в двухпетлевом приближении [242]:
m
(2)
(Q
2
)
=
m̂
(½log Q
2
/Λ
2
)
dm
1
-γ
(0)
m
β
1
β
2
0
log log Q
2
/Λ
2
2log Q
2
/Λ
2
+
1
2β
2
0
γ
(1)
m
-γ
(0)
m
β
1
β
0
1
log Q
2
/Λ
2
,
γ
(1)
m
=
3
n
2
c -1
2n
c
2
+
97
6
n
2
c -1
4
-
5nƒ (n
2
c -1)
3n
c
,
(14.5 в)
где nc = 3 (число цветов). В качестве примера использования развитой здесь техники приведем вывод импульсной зависимости кваркового пропагатора в пределе больших импульсов Q2 Λ2
S
R
(p,q(ν),m(ν),ξ(ν);ν) ,
p
2
=-Q
2
Λ
2
.
Размерность кваркового пропагатора SR равна ρS=-1. Следовательно, замечая, что Z=ZF (в пропагаторе SR сохранены внешние линии: "усеченный" пропагатор SR был бы просто равен S-1R, при условии p=λn, n2=-Λ2 из уравнения (12.7) получаем
S
R
(p,g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)
=
S
R
(p,
g
(ν),
m
(ν),
ξ
(ν);ν)
Q2
Λ2
-½
×
exp
-
log Q/Λ
0
d
logλ'
1-ξ
3π
α
g
(λ')
.
В ведущем приближении по αs выражение для кваркового пропагатора принимает вид
S
R
(p,
g
(ν),
m
(ν),
ξ
(ν);ν)
Q2
i
n
Используя формулу (14.4а), окончательно получаем
S
R
(p,g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)
Q2Λ2
i
p
1
(½log Q2/Λ2)dFξ
,
(14.6 а)
(Q2=-p2), где аномальная размерность кваркового поля записывается в виде
d
Fξ
=
3
2
(1-ξ)CF
11CA-4TFnƒ
=2
1-ξ
33-2nƒ
.
(14.6 б)
Таким образом, кварковый пропагатор SR в пределе больших импульсов с точностью до логарифмических поправок (log Q/Λ)-dFξ ведет себя аналогично пропагатору свободного кваркового поля. Отметим, что аномальная размерность кваркового поля dFξ, как и ожидалось, зависит от калибровочного параметра и равна нулю в калибровке Ландау, в которой кварковый пропагатор имеет каноническую размерность.
Глава III. ПРОЦЕССЫ ГЛУБОКОНЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
§15. е+е- -аннигиляция в адроны
Лагранжиан, описывающий сильное и электромагнитное взаимодействия кварков, можно представить в виде
QCD+em
=
q
{
i
q
D
q-m
q
q
q
}
-
1
4
(D×B)
2
+
e
q
Q
q
q
γ
μ
qA
μ
-
1
4
F
μν
F
μν
(15.1)
где Qq - заряд кварка q в единицах заряда протона e. В формуле (15.1) опущены члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад ду́хов. Электромагнитный ток кварков равен
J
μ
=
q
Q
q
:
q
γ
μ
q: .
Рассмотрим некоторое адронное состояние Γ. Сечение аннигиляции неполяризованных электрона e- и позитрона e+ в адроны определяется как усредненная по спинам начальных электрона и позитрона сумма по всем возможным конечным состояниям адронной системы, возникающей в результате процесса e+e-Γ. Для того чтобы вычислить эту сумму, рассмотрим матричный элемент
Γ|S
QCD+em
|e
+
e
-
=Γ|Τ exp i
d
4
x
{
int,QCD
(x)+