ν
-ρΓ
Γ
R
(λp
1
,,λp
N-1
;g,m,a
-1
;ν) = F(λp
1
/ν,,λp
N-1
/ν;g,m/ν,a
-1
).
Чтобы отличать масштаб изменения импульсов λ от калибровочного параметра, последний обозначим через a=λ-1. Теперь, заменяя частную производную ν/ν на производную -λ/λ, получаем уравнение Каллана-Симанзика
{
-
logλ
+gβ
g
+(a
-1
)δ
a
-1
+
q
m
q
(γ
m,q
-1)
m
q
+ρ
Γ
-γ
Γ
}
×Γ
R
(λp
1
,,λp
N-1
;g,m,ξ,ν)=0.
(12.5)
Чтобы решить это уравнение, введем эффективные, или "бегущие", параметры, определяемые соотношениями
d
g
(λ)
d logλ
=
g
(λ)β(
g
(λ)) ,
d
m
(λ)
d logλ
=
m
(λ)γ
m,q
,
d
a
(λ)
-1
d logλ
=
a
-1
δ ,
(12.6 а)
и удовлетворяющие граничным условиям
g
λ=1
=g(ν) ,
m
λ=1
=m(ν) ,
a
λ=1
=a(ν) .
(12.6 б)
Тогда решение уравнения КалланаСиманзика можно записать в виде
Γ
R
(λp
1
,,λp
N-1
;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)
=λ
ρΓ
Γ
R
(p
1
,,p
N-1
;
g
(λ),
m
(λ),
a
(λ)
-1
;ν)
× exp
{
-
log λ
0
d log γ'γ
Γ
(
g
(λ'),
m
(λ'),
a
(λ')
-1
)
}
.
(12.7)
Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в λ раз функция Грина ΓR не умножается просто на величину λρΓ как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину γΓ обычно называют аномальной размерностью функции Грина ΓR. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей21). Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок,
в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.
21) Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].
Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.
§ 13. Перенормировка составных операторов
Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и слабые токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.
Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока Jμem=QqVμq, где проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы Vμq имеют следующий вид:
V
μ
q
(x)=:
q
(x)γ
μ
q(x): ;
и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения
V
μ
(x)=0 .
μ
q
(13.1 а)
В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток
A
μ
qq'
(x)=:
q
(x)γ
μ
γ
5
q'(x): .
Используя уравнения движения (3.6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям
μ
A
μ
qq'
(x)=i(m
q
+m
q'
)J
5
qq'
(x) , J
5
qq'
(x)=:
q
(x)γ
5
q'(x): ,
(13.1 б)
из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.
Вообще говоря, матричные элементы любого составного оператора представляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и частично сохраняющихся токов оказываются конечными 21a). Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.
21a) Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходимость включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных множителей ZωF, ZemF и т.д.
Несохраняющиеся операторы, как правило, требуют проведения перенормировки. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве простого примера оператор Σi:qi(x)qi(x)M(x). Как уже обсуждалось в § 8 и 9, можно работать либо с неперенормированной величиной ququ и проводить вычисления, учитывая контрчлены, либо использовать перенормированную величину Z-1Fququ , проводя подстановки ggu=Zgg для константы связи и mmu=Zmm для массы и пренебрегая контрчленами. Тем не менее, вообще говоря, этого оказывается недостаточно, чтобы величина M была конечной. Для того чтобы получить конечные выражения для матричных элементов оператора M, необходимо умножить его на дополнительный множитель ZM, называемый перенормировочным множителем оператора:
M
R
(x)=Z
M
M(x) .
(13.2)
Чтобы доказать это утверждение, используем формулы § 3. При этом поля, отмеченные верхним или нижним индексом 0, являются свободными, например q0q0u или B0B0u. В терминах свободных полей оператор MR записывается в виде
M
R
(x)=Z
M
T:
q
0
(x)q
0
(x):
exp i
d
4
z
0
int
(z) .
В низшем порядке теории возмущений по константе связи g это выражение принимает вид
M
R
(x)
=
Z
M
Z
-1
F
:
q
0
(x)q
0
(x):
=
-
g
2
2!
Z
M
d
4
z
1
d
4
z
2
T
:
q
0
(x)q
0
(x):
:
q
0
(z
1
)t
a
γ
μ
q
0
(z
1
):
×
q
0
(z
2
)t
b
γ
ν
q
0
(z
2
):
B
μ
0a
(z
1
)
B
ν
0b
(z
2
) .
(13.3)
Поскольку перенормировочный множитель оператора имеет вид ZM=1+O(g2), множителем ZM во втором слагаемом правой части (13.3) можно пренебречь. Рассмотрим далее расходящиеся матричные элементы, а именно матричные элементы MR по кварковым состояниям с равным импульсом p; нетрудно видеть, что характер расходимости в рассматриваемом примере одинаков как для диагональных, так и для недиагональных матричных элементов. Обозначим диагональные матричные элементы операторов M и MR соответственно через Mp и MRp. Тогда в калибровке Ферми-Фейнмана после простых вычислений из выражения (13.3) для этих матричных элементов получим