S
(μ')
R
(μ',g,m(μ'))=
i
p
-p(μ')
.
Потребовав равенства выражений для пропагаторов при p=μ', можно определить функции m=(μ') и ZF=(μ')/ZF=(μ). В результате, например, получаем следующее выражение для функции m=(μ'):
m(μ')=m(μ)
{
1-
2
3
α
g
1
π
0
dx(1+x)log
xm+x(1-x)μ'
2
xm+x(1-x)μ
2
}
.
В рамках схемы MS рассуждение оказывается более простым, но вместе с тем и более тонким
17б). После проведения регуляризации во всех выражениях возникает произвольный параметр ν0, имеющий размерность массы. Если мы хотим получить функции Грина, не зависящие от этого произвольного параметра ν0, то этого можно добиться, отбросив в возникающих выражениях не только (4π)ε/2Γ(ε/2), а весь член (4π)ε/2Γ(ε/2)νε0. Единственный способ достичь этого состоит во введении нового параметра ν размерности массы, так что теперь перенормировочный множитель Z заменяется на комбинацию Z(ν)=(ν0/ν)εZ; которая сократится с множителем Nν0=2/ε-γE+log4π+logν0. Перенормированные функции Грина будут зависеть от параметра ν, но не будут уже зависеть от ν0. Предположим, что мы хотим изменить значение параметра ν, но так, чтобы при этом не возникло физических эффектов. Для этого достаточно ввести зависимость от параметра ν в константу связи g, массу кварка m и калибровочный параметр ξ (в дополнение к зависимости от ν перенормировочного множителя Z). Для функции Грина Γ с отсеченными внешними линиями получаем
17б) Используемая здесь перенормировочная схема MS несколько отличается от стандартной схемы MS, хотя по существу полностью ей эквивалентна.
Γ
R
(p
1
,,p
N-1
;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)
=Z
-½
Φ1
(ν)Z
½
ΦN
(ν)Γ
uD
(p
1
,,p
N-1
;g
uD
,m
uD
,ξ
uD
);
(11.5)
g
uD
=Z
g
(ν)g(ν),
m
uD
=Z
m
(ν)m(ν),
λ
uD
=Z
λ
(ν)λ(ν),
ξ=1-λ
-1
(11.6)
Легко видеть, какая требуется зависимость от параметра ν. Напомним, что параметр ν0 входил во все выражения в комбинации
d
D
k̂=
d
D
k
(2π)
D
ν
4-D
0
,
так что зависимость от ν0 имеется только в расходящихся частях интегралов
Γ(2/ε)(4π)
ε/2
(
ν
2
0
)
ε/2
.
Следовательно, все перенормировочные множители Zν имеют вид
Z
j
(ν)=1+
C
(1)
j
(ν)
g
2
16π
2
+,
(11.7 а)
C
(1)
(ν)=c
(1)
j
j
{
2
ε
-γ
E
+log4π+log
ν
2
0
ν
2
}
.
(11.7 б)
Коэффициенты перед членом log ν2 с точностью до знака совпадают с ранее вычисленными коэффициентами c(1)j. В низших порядках теории возмущений легко показать, что в μ-схеме перенормировки это утверждение справедливо и в отношении коэффициентов перед членом log μ2.
Преобразования вида μμ' (или νν') образуют ренормализационную группу17в), впервые введенную в рассмотрение Штюкельбергом и Петерманом [237] (см. также [45, 140]). Инвариантность физических величин по отношению к этой группе преобразований можно использовать (см. § 20) для изучения асимптотического поведения функций Грина. Эффективнее всего это можно сделать, используя уравнение, полученное Калланом [59] и Симанзиком [239], которое рассматривается в следующем параграфе.
17в) В действительности групповая структура возникает только в рамках заданной перенормировочной схемы. Если включить в рассмотрение преобразования вида Τ(R1R), изменяющиеся при переходе от одной схемы к другой, то в результате возникает расслоенное пространство.
§ 12. Уравнение Каллана - Симанзика
Уравнение Кадлана Симанзика (КС) проще всего получить, заметив, что неперенормированные величины Γu, gu, mu, ξu не зависят от значения параметра ν (скажем, в перенормированной схеме MS). Исходя из этого, на основании формул (11.5) и (11.6) немедленно получаем уравнение
νd
dν
Γ
uD
(p
1
,,p
N-1
;g
uD
,m
uD
,λ
uD
)=0,
т.е.
{
ν
ν
+g
g
+(1-ξ)λδ
λ
+
q
m
q
γ
m,q
m
q
-γ
Γ
}
×Γ
R
(p
1
,,p
N-1
;g(ν),m(ν),λ(ν);ν)=0.
(12.1)
Здесь введены универсальные функции β, γk и δ, определяемые
соотношениями
ν
d
dν
g(ν)=g(ν)β,
ν
d
dν
m
q
(ν)=m
q
(ν)γ
m,q
,
ν
d
dν
λ(ν)={1-λ(ν)}δ.
(12.2)
и
Z
-1
=Z
½
Z
½
Γ
Φ1
ΦN
,
Z
-1
ν
d
Z
Γ
=γ
Γ
Γ
dν
.
(12.3)
Функции β, γ и δ можно вычислить, если использовать уравнение (9.10) и учесть, что величины gu, mu и ξu не зависят от параметра ν:
β=-Z
-1
g
(ν)ν
d
dν
Z
g
(ν),
γ
m,q
=-Z
-1
m
(ν)ν
d
dν
Z
m
(ν),
δ=-Z
λ
(ν)ν
d
Z
-1
dν
λ
(ν).
(12.4)
Уравнение (12.1) в приведенном выше виде неудобно, так как содержит частную производную по параметру ν/ν. Но его можно представить в более удобной форме, если использовать соображения размерности. Предположим, что размерность величины ΓR равна ρΓ; тогда величина ν-ρΓΓR является безразмерной19), поэтому она может зависеть только от безразмерных отношений размерных параметров. Изменим масштаб импульсов, являющихся аргументами функции Грина, в λ раз: piλpi. В результате получим
19) Размерность полей, входящих в определение функции Грина, легко вычислить, если учесть, что действие Α=d4x(x) безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q]=[M]3/2, полей д́ухов [ω]=[M], глюонных полей [B]=[M]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в её определении. Например, размерность фермионнного пропагатора ρS=-1 (слагаемые 3/2+3/2 возникают из размерностей полей кварков, а 4 - из элемента объёма четырёхмерного пространства d4x).