(10.3) коммутируют с членами лагранжиана , описывающими взаимодействие кварков и глюонов, вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае использование уравнения Дирака id q=mqq приводит к следующим выражениям:
μ
V
μ
qq'
=i(m
q
-m
q'
)
q
q' ;
μ
A
μ
qq'
=i(m
q
-m
q'
)
q
γ
5
q' .
(10.5)
Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагональных переходов (qq'); если же начальный и конечный кварки совпадают (q=q' ), то его следует заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:
μ
A
μ
=i(m
q
+m
q
)q̅(x)γ
5
q(x)+
T
F
g
2
16π
2
ε
μνρσ
G
μν
(x)G
ρσ
(x).
(10.6)
Это так называемая треугольная аномалия Адлера - Белла - Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.
Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем
δ(x
0
-y
0
)
[
V
0
qq'
(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ
qq''
q'(x)
,
δ(x
0
-y
0
)
[
A
0
qq'
(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ
qq''
γ
5
q'(x)
и т.д.
(10.7)
Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и ду́хов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна λα, действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (ƒ= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде
V
μ
α
(x)=
ƒƒ'
q
ƒ
(x)
λ
α
ƒƒ'
γ
μ
q
f'
(x) ,
A
μ
α
(x)=
ƒƒ'
q
ƒ
(x)
λ
α
ƒƒ'
γ
μ
γ
5
q
f'
(x) ,
(10.8)
то возникают следующие коммутационные соотношения:
δ(x
0
-y
0
)[V
0
α
(x),V
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
V
δ
δ
(x) ,
δ(x
0
-y
0
)[V
0
α
(x),A
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
A
δ
δ
(x) ,
δ(x
0
-y
0
)[A
0
α
(x),A
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
V
δ
δ
(x) и т.д.
(10.9)
Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию δ-функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.
Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток Jμ сохраняется, то соответствующий ему заряд QJ имеет вид
Q
J
=
d
xJ
0
(t,
x)
,
t=x
0
.
Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом:
[Q
J
(t),(t,
y)]=0.
Здесь гамильтониан (плотность функции Гамильтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением =Θ00. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан , через ':
'=
q
m
q
q
q.
Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение
[Q
J
(t),'(t,
y)]=i
μ
J
μ
(t,
y).
Конечно, заряд QJ по-прежнему коммутирует с остальными членами гамильтониана .
§ 11. Ренормализационная группа
Рассмотрим, например, перенормировку кваркового пропагатора. В калибровке Ферми Фейнмана в рамках μ-схемы
S
(μ)
R
(p;g,m)=i
1-(4/3)g
2
A
(μ)
R
(p
2
)
p
-m{1-(4/3)g
2
B
(μ)
R
(p
2
)}
.
(11.1 а)
где
A
(μ)
R
(p
2
)=
2
1
16π
2
0
dx(1-x)
xm
2
+x(1-x)μ
2
xm
2
-x(1-x)p
2
,
B
(μ)
R
(p
2
)=
-2
1
16π
2
0
dx(1+x)log
xm
2
+x(1-x)μ
2
xm
2
-x(1-x)p
2
,
(11.1 б)
В рамках схемы MS выражения для пропагатора S и функций A и B имеют вид
S
(ν)
R
(p;g,m)=i
1-(4/3)g
2
A
R
(p
2
,ν)
p
-m{1-(4/3)g
2
B
R
(p
2
,ν)
,
(11.2 а)
A
R
=
1
16π
2
{
-1-2
1
0
dx(1-x)log
xm
2
-x(1-x)p
2
ν
2
0
}
;
B
R
=
1
16π
2
{
1+2
1
0
dx(1+x)log
xm
2
-x(1-x)p
2
ν
2
0
}
.
(11.2 б)
Видно, что перенормировочная процедура вводит в функции Грина зависимость от произвольного параметра размерности массы: это точка нормировки μ2 в μ-схеме или шкала масс ν2 в схеме MS.
Начнем с рассмотрения μ-схемы перенормировки. Предположим, что точка нормировки изменилась и вместо прежнего значения μ взято новое значение μ'. Если использовать лишь выражения (11.16), в которых параметр μ заменен на μ', то выражение для кваркового пропагатора S(μ')R будет отличаться от прежнего. Но мы хотим построить теорию, которая была бы определена однозначно; следовательно, необходимо скомпенсировать изменение кваркового пропагатора. Этого можно добиться, если принять, что масса кварка тоже зависит от точки нормировки μ.
Поэтому перепишем выражение (11.1а) для пропагатора в виде
S
(μ)
R
(p;g,m(μ))=i
1-(4/3)g
2
A
(μ)
R
(p
2
)
p
-m(μ){1-(4/3)g
2
B
(μ)
R
(p
2
)}
.
(11.3)
Существование зависимости массы кварка от точки нормировки очевидно из выражения для перенормированного пропагатора SR, записанного через неперенормированный пропагатор:
S
(μ)
R
(p;g,m(μ))
=
Z
-1
F
(μ)S
uD
(p;g,m
uD
);
m
uD
=
Z
m
(μ)m(μ).
(11.4)
Поэтому для обеспечения независимости кваркового пропагатора от точки нормировки μ достаточно подходящим образом выбрать зависимости перенормировочных множителей ZF и Zm от этой точки. Другими словами, если известно выражение для пропагатора S(μ)R при (p;g,m(μ)), то можно вычислить его значение и при (p=μ';g,m(μ)). После этого определим пропагатор S(μ')R, нормированный в точке μ',в виде