2
ij
(9.27 б)
Здесь
C
'a
ij
=
g
2
c
(t
c
t
a
t
c
)
ij
= g
2
c
([t
c
,t
a
]t
c
)
ij
+ g
2
(
t
a
c
t
c
t
c
)
ij
=
g
2
t
a
{
-
1
C
A
+C
F
}
.
ij
2
(9.27 в)
При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины Γ имеет вид
Γ
(2)μ
uij,a
div
=
N
ε
g
3
{
C
A
+C
F
}
it
a
γ
μ
.
16π
2
ij
(9.28)
В перенормировке вершины участвуют множители Zg, ZF и ZB:
V
μ
=Z
-1
Z
-½
Z
V
μ
.
Rij,a
F
B
g
uij,a
(9.29)
Используя полученные выше выражения для перенормировочных множителей ZF и ZB и только что вычисленное значение расходящейся части вершины Γ(2)u, получаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:
Z
g
=1-
α
g
{
11C
A
-
2
T
F
n
ƒ
}
N
ε
.
4π
6
3
(9.30)
Таким образом,
c
(1)
= -
{
11
-
n
ƒ
}
.
g
2
3
Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных множителю CF. Такое сокращение обязательно должно иметь место в силу того, что зарядовый перенормировочный множитель Zg можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция β вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента c(1)g были проведены Гроссом и Вильчеком [160] и Полицером [218], которые вместо кварк-глюонной вершины q̅qB использовали трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно использовать вершину взаимодействия глюонов и ду́хов ωωB. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату, что является следствием калибровочной инвариантности теории.
Рис. 8. Трехглюонная вершина.
Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты c(n)g, вычисленные в схеме MS , калибровочно-инвариантны [65].
§10. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи
В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскольку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.
Очевидно, что лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованиям из группы Пуанкаре xΛx+a. Токи, соответствующие лоренцевым преобразованиям Λ (являющимся генераторами полного спина системы), для нас не представляют большого интереса. Согласно теореме Нётер, инвариантность лагранжиана относительно пространственно-временных сдвигов приводит к следующему выражению для тензора энергии-импульса:
Θ
μν
=
i
(
μ
Φ
i
)
ν
Φ
i
-g
μν
,
(10.1)
где суммирование по i проводится по всем полям, фигурирующим в лагранжиане КХД. Из тензора энергии-импульса можно построить токи, удовлетворяющие условию сохранения
νΘμν = 0,
и соответствующие этим токам сохраняющиеся "заряды", представляющие собой компоненты 4-импульса
P
μ
=
d
xΘ
0μ
(x)
.
Явное выражение для тензора энергии-импульса в квантовой хромодинамике имеет вид17a)
17a) При квантовании теории произведение классических полей следует заменить на нормально упорядоченное произведение. Обсуждение вопроса о неоднозначности определения тензора энергии-импульса см. в работах [60, 74].
Тензор энергии-импульса определяется неоднозначно. В действительности из выражения (10.1) калибровочно-инвариантного выражения для тензора энергии-импульса получить не удается. Выражение же (10.2) возникает при замене обычных производных на ковариантные. Или, иначе, калибровочно-инвариантное выражение для тензора энергии-импульса можно получить из выражения (10.1), производя калибровочные преобразования одновременно с пространственно-временными трансляциями xμxμ+εμ. Например, если записать преобразование трансляции для глюонного поля B в виде BμaBμa + (εααBμa DμεαBαa + εαGαμa), то первое слагаемое в скобках можно устранить калибровочным преобразованием, так что мы получим BμaBμa + Gαμa .
Θ
μν
=
i
q
q
γ
μ
D
ν
q - g
μν
i
q
q
D
q + g
μν
q
m
q
q
q
-
g
αβ
G
μα
G
νβ
+ ¼g
μνG2
+
члены, фиксирующие калибровку + вклад ду́хов.
(10.2)
Далее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.
Если массы всех кварков равны нулю, то лагранжиан инвариантен относительно преобразований вида
q
ƒ
nƒ
f'=1
U
ƒƒ'
q
ƒ'
,
q
ƒ
nƒ
f'=1
V
ƒƒ'
γ
5
q
ƒ'
(10.3)
при условии, что матрицы U и V представляют собой унитарные матрицы размерности nƒ×nƒ. Отсюда следует, что токи
V
μ
qq'
(x)=q̅(x)γ
μ
q'(x) ,
A
μ
qq'
(x)=q̅(x)γ
μ
γ
5
q'(x)
(10.4)
сохраняются каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане учесть массовые члены, то сохраняется только диагональный ток Vμqq; остальные токи при этом являются квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков. Вычисление дивергенций этих токов не представляет большой сложности; поскольку преобразования