Α
μ
=
[(k
+q)
g
μ
-(q+k
)
g
μ
+(k
-k
)
μ
g
]
1
β
α
2
α
β
2
1
αβ
×
ε
α
(k
,η
)ε
β
(k
,η
) .
p
1
1
p
2
2
(5.7 б)
Здесь εp - вектор поляризации испущенного физического глюона, заданный выражением
ε
α
(k,η)=
1
{ε
(1)α
(k) + iηε
(2)α
(k)} ,
p
2
содержащим тетрады ε(i), определяемые аналогично выражениям (4.10). Для физического глюона выполняется условие поперечности kαεαp(k,η) = 0, k2 = 0, поэтому выражение (5.7б) можно записать в виде (напомним, что q = k1 + k2)
Α
μ
=[2k
g
μ
-2k
+(k
-k
)
μ
g
]ε
α
(k
,η
)ε
β
(k
,η
).
1β
α
1α
2
1
αβ
β
1
1
p
2
2
Легко убедиться в справедливости равенства qμΑμ = 0. Очевидно, что условию унитарности в пространстве состояний физических глюонов удовлетворить нельзя. В самом деле, из формулы (5.6) следует
q
Π
μν
(q) 0.
μ
aa'
Конечно, противоречие возникло из-за того, что лагранжиан переводит физические состояния в нефизические. На это впервые обратили внимание Де Витт [94] и Фейнман, решение проблемы для некоторых частных случаев было предложено Фейнманом [118], а для общего случая - Фаддеевым и Поповым [113]. Идея заключается в следующем. Нужно ввести дополнительные нефизические частицы (ду́хи), обращающие в нуль нефизические состояния, порождаемые лагранжианом ξint. Таким образом, мы модифицируем лагранжиан ξ, добавляя в него члены, отвечающие ду́хам, в результате чего полный лагранжиан ξall принимает вид
ξ
=
ξ
+
(
ω
(x))(δ
μ
-gƒ
B
μ
(x))ω
(x) ,
all
μ
ab
abc
c
b
(5.8)
где лагранжиан ξ определен формулой (5.3). Поля ω и ω, обладая нулевым спином, подчиняются статистике Ферми Дирака6a). Эти поля не появляются в начальных или конечных состояниях (по предположению они нефизические), поэтому несоответствие их спина и статистики не должно вызывать беспокойства.
6a Иногда удобно, хотя и не обязательно, считать поля ω и ω взаимно сопряженными. Более подробно вопрос о ду́хах обсуждается в § 41, 42.
Рис. 3. Петля ду́хов.
Продолжим рассмотрение свойства унитарности S-матрицы, введя в лагранжиан член, описывающий вклад духов. Так как духи взаимодействуют лишь с глюонами, они изменяют только диаграмму рис. 1, а, которая приводила к нарушению унитарности. Выражение для тензора Π приобретает возникающую за счет ду́хов добавку, для которой после простых вычислений (рис. 3) получаем следующий результат:
Π
μν
(Ghost)aa'
=
δ
aa'
C
A
ig
2
d
D
k
k
μ
(k+q)
ν
(2π)
D
k
2
(k+q)
2
=
δ
aa'
g
2
C
A
{[
1
N
ε
+
1
-
1
dxx(1-x)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
2
g
μν
32π
2
6
6
0
-
[
-
1
N
ε
+2
1
dxx(1-x)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
μ
q
ν
}
.
3
0
Суммируя вклады глюонов и духов и используя формулы интегрирования, приведенные в приложении Б, находим для поляризационного оператора Π окончательное выражение
Π
μν
=δ
aa'
g
2
C
A
(-g
μν
q
2
+q
μ
q
ν
)
{
-
10
N
ε
-
62
+
10
log(q
2
)
}
,
(all)aa'
32π
2
3
9
3
(5.9)
которое, очевидно, удовлетворяет условию поперечности
q
μ
Π
μν
=
q
ν
Π
μν
= 0.
(all)aa'
(all)aa'
(5.10)
Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем
лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.
ξ
=
{
i
q
D
q-m
q
q
}
-
1
(D×B)
2
-
λ
(B)
q
4
2
q
QCD
+
(
ω
)(δ
μ
- gƒ
B
μ
)ω
,
μ
a
ab
abc
c
b
ξ
=
1-1/λ
(5.11)
Начиная со следующего раздела, в обозначении лагранжиана индекс КХД мы также будем опускать.
2. Физические калибровки
Появление ду́хов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния P не коммутирует с лагранжианом КХД, записанным в лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, если выбрать калибровку, в которой все глюонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство полей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям положительной энергии, локальности и явной лоренц-инвариантности. Поэтому возникает необходимость использования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных калибровок является кулоновская калибровка8), однако она тоже не свободна от ду́хов. Необходимость введения ду́хов исчезает, если потребовать выполнения соотношений
8 Более того, кулоновская калибровка вносит дополнительные усложнения. Формулировка КХД в кулоновской калибровке изложена в статье [69].
nB=0,
n
2
0.
(5.12)
Случай пространственноподобного вектора n(n20:
V
Rξ
p
2
1
=p
2
2
=(p
1
-p
2
)
2
=-μ
2
(9.7 б)
Как уже отмечалось, выполнение перенормировочной процедуры в значительной мере облегчается тем, что перенормированный лагранжиан ξR можно подучить из "затравочного" лагранжиана ξuD, проводя замену фигурирующих в нем полей по формулам (8.9). Для того чтобы вычислить любую функцию Грина, запишем ее в импульсном представлении и отсечем все внешние линии. При этом получим величину Γ(p1,pN-1;m,g,λ), определяемую формулой
Γ(p
1
,p
N-1
;m,g,λ)δ(p)
=K
1
(p
1
)K
N
(p
N
)
d
4
x
1
d
4
x
N
e
ixkpk
×TΦ
1
(x
1
)Φ
N
(x
N
)
0
;
(9.8)
где Kk - обратные пропагаторы; для фермионных полей iK(p)=S-1R(p), для глюонных полей iK(p)=D-1R(p) и т.д.13в). Вычислим неперенормированную функцию Грина