+i0)
.
ab
ab
(2π)
4
k
2
+i0
(4.13 a)
Для вакуумного матричного элемента использовано сокращенное обозначение
fgh
0
0|fgh|0,
которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем. Выражение для пропагатора D можно упростить, введя обозначение 1-1/λ=ξ. В импульсном пространстве выражение для пропагатора глюонного поля имеет вид
D
μν
(k) = iδ
ab
-g
μν
+ξk
μ
k
ν
/(k
2
+i0)
.
ab
k
2
+i0
(4.13 б)
Особенно простой является калибровка Ферми - Фейнмана, которая соответствует значению параметра ξ=0. Иногда оказывается удобной поперечная калибровка, или калибровка Ландау, отвечающая значению ξ=1.
В действительности для случая λ1 выражение (4.13) должно быть подучено несколько иным способом, так как для физических безмассовых глюонов член kμkν/k2 обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти, приписывая глюонам некоторую фиктивную массу M. Тогда в импульсном пространстве пропагатор описывается выражением
D
μν
(k,M) =
-g
μν
+(1-λ
-1
)k
μ
k
ν
/(k
2
-λ
-1
M
2
+i0)
iδ
ab
,
ab
k
2
-M
2
+i0
из которого в пределе M0 следует выражение (4.13).
В квантовой электродинамике фотоны не испытывают самодействия, поэтому в рамках этой теории использование ковариантных калибровок не сопряжено с дополнительными трудностями и проводится на описанном выше уровне. Но в случае квантовой хромодинамики самодействие глюонов приводит к дальнейшим усложнениям. Этому вопросу посвящен следующий параграф.
§ 5. Унитарность, лоренцевы калибровки, духи, физические калибровки
1. Ковариантные калибровки
Следует помнить, что присутствие в пространстве состояний, в котором определены поля, нефизических векторов может привести к нарушению соотношения унитарности. Условие (2.7) или (2.8), выражающее унитарность S-матрицы, справедливо только в пространстве физических состояний. Определяя проекторы на физические состояния P соотношениями
P
H
GB
=
L
,
P
2
=P
+
=P ,
(5.1)
Условия унитарности (2.7) или (2.8) можно записать во всем пространстве в виде
(PSP)(PSP)
+
= P.
(5.2)
Если лагранжиан эрмитов, то S-матрица унитарна в пространстве ΧGB, поэтому условие (5.2) будет выполнено только в том случае, когда S-матрица коммутирует с оператором
P. В описанных в предыдущем параграфе калибровках это соотношение справедливо для квантовой электродинамики и не справедливо для КХД, так как, за исключением случая g = 0, калибровочные преобразования в КХД приводят к самодействию глюонов. Это означает, что лагранжиан
ξ
=
{i
q
D
q - m
q
q
q} -
1
(D×B)
2
-
λ
(B)
2
, ξ=1-1/λ ,
4
2
q
(5.3)
полученный добавлением к выражению (3.5) члена, фиксирующего калибровку, не полон, и его следует изменить.
Для того чтобы понять, какие члены необходимо еще ввести в лагранжиан (5.3), проследим, как нарушается соотношение (5.2) в частном случае калибровки Ферми - Фейнмана. Рассмотрим процесс рассеяния кварка и антикварка во втором порядке теории возмущений.
Фейнмановские диаграммы, дающие вклад в этот процесс, приведены на рис. 1. Вычисление диаграмм рис. 1, 6 и в несложно; трудности возникают лишь при обработке диаграммы рис. 1, а. Вычислим диаграмму рис. 1, а в пространстве размерности D (см. § 7), а затем перейдем к физическому пределу D4. Соответствующая амплитуда (см. направления импульсов на рис. 1, а) имеет вид6)
6Диаграмма рис. 1, д, часто называемая глюонным "головастиком", не дает вклада в амплитуду рассеяния, так как в размерной регуляризации dDk(k2+i0)-10 (см § 7).
Рис. 1. Диаграммы qq-рассеяния (а- в), глюонная петпя (г) и глюонный "головастик" (д).
Τ
4
=
-g
2
v
k
γ
μ
u
i
t
a
-ig
μ'μ
Π
aa'μν
-ig
ν'ν
u
'
k'
γ
ν
v'
i'
t
a'
δ(P
i
-P
j
),
(2π)
2
tr
q
2
q
2
tr
(5.4 а)
где
Π
μν
(q)
=
-ig
2
ƒ
abc
ƒ
a'bc
d
D
k
1
2
(2π)
D
k
2
(k+q)
2
aa'
×
{[
-(2k+q)
μ
g
+(k-q)
g
μ
+(2q+k)
q
μ
]
aβ
β
a
a
β
×
[
-(2k+q)
ν
g
aβ
+(k-q)
β
g
νa
+(2q+k)
a
g
νβ
]}
.
(5.4 б)
Используя соотношение ƒƒ=δaa'CA (см. приложение В) и произведя стандартные выкладки, получаем для тензора Πμνaa' следующее выражение:
Π
μν
=
δ
aa'
C
A
g
2
32π
2
aa'
×
{[
19
N
ε
+
1
-
1
dx(11x
2
-11x+5)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
2
g
μν
6
2
0
-
[
11
N
ε
+
2
-
1
dx(-10x
2
+10x+2)
3
3
0
×
log(-x(1-x)q
2
)
]
q
μ
q
ν
}
;
N
ε
2
-
γ
E
+log 4π ,
ε = 4-D 0 .
ε
(5.5)
Оно расходится в пределе ε0, но нас сейчас беспокоит не эта расходимость. Соотношение унитарности требует выполнения равенства Im Τ=(1/2)ΤΤ+. Но Im Τ получается из выражения (5.4) заменой тензора на его мнимую часть Im , которая, согласно (5.5), имеет вид
Im Π
μν
(q) =
δ
aa'
C
A
g
2
θ(q
2
)
{
-
19
q
2
g
μν
+
22
q
μ
q
ν
}
,
aa'
32π
2
6
6
(5.6)
и конечна даже при D = 4. Она должна быть равна величине
½
q
q|
Τ
|c,phys.c,phys.|
Τ
+
|
q
q
,
c,phys.
т.е. квадрату амплитуды процесса qqBB с физическими глюонами BB (рис. 2). Используя правила Фейнмана, легко видеть, что выражение для такой амплитуды аналогично выражению для Im Τ c заменой мнимой части поляризационного оператора Im Πaaμν(q) на комбинацию
δ
aa'
C
A
Α
μ
(k
1
,k
2
;η
1
η
2
)
Α
*
ν
(k
1
,k
2
;η
1
η
2
)
η1,η2
k1+k2=2
(5.7 a)
Рис. 2. Мнимая часть величины Τ.
где параметр η=± 1 обозначает физические значения спиральностей глюонов, а функции Αμ имеют вид