13в Отсечение внешних линий устраняет связанные с ним полюса фейнмановских диаграмм. Так как пропагаторы SR и DR перенормированы, функция Грина содержит множитель Z-½Φ для каждой величины KΦ, так что каждой полевой функции Φ возникает эффективный полевой множитель Z½Φ.
ΓuD(p1,pN-1;m,g,λ),
используя для этого лагранжиан ξuD,int (выражение (9.2)). Тогда перенормированная функция Грина ΓR получается из неперенормированной функции Грина ΓuD:
Γ
R
(p
1
,p
N-1
;m,g,λ)
=Z
-½
Z
-½
Γ
(p
,,p
;Z
m
m,Z
g
g,Z
λ
λ).
Φ1
ΦN
uD
1
N-1
(9.9)
Это выражение приобретает более прозрачный смысл, если ввести следующие обозначения для затравочных параметров 14).
14 Массы и капибровочный параметр иногда удобно рассматривать как некоторые константы связи.
m
uqD
=Z
mq
m
q
,
λ
uD
=Z
λ
λ,
g
uD
=Z
g
;
(9.10)
тогда выражение (9.9) принимает вид
Γ
R
(p
1
,p
N-1
;m,g,λ)
=Z
-½
Z
-½
Γ
(p
,,p
;m
uD
,g
uD
,λ
uD
).
Φ1
ΦN
uD
1
N-1
(9.11)
Для того чтобы проиллюстрировать, как работает описанная процедура, рассмотрим пропагатор кварка. Согласно общему рецепту, с учетом обозначения αgg2/(4π) можно записать следующее соотношение между перенормированным и неперенормированным пропагаторами:
S
R
(p; g
R
, m
R
, λ
R
) = Z
½
Z
½
S
(p; Z
g
g, Z
m
m, Z
λ
λ).
F
F
uD
Все вычисления будут проводиться во втором порядке теории возмущений. Поэтому множители Zg и Zλ можно заменить на единицу, так как возникающие при этом поправки будут иметь более высокий порядок малости по константе связи αg. Используя формулы {7.4), (7.5), получаем выражение для пропагатора кварка
S
R
(p; g,m,α)=Z
-1
i
=iZ
-1
1-C
F
g
2
A
Dε
(p
2
)
.
F
(
p
- Z
m
m)
F
p
- Z
m
m{1-C
F
g
2
B
Dε
(p
2
)}
Как отмечалось выше, для того чтобы определить перенормировочный множитель Z, нужно задать значение кваркового пропагатора SR при некотором заданном 4-импульсе p=p̅.. Потребуем, чтобы в этой точке перенормированный пропагатор SR совпадал с пропагатором свободной частицы
S
(p̅; q,m,α) =
i
.
R
p
̅ - m
(9.12)
Таким образом, находим, что при р̅2=-μ2 перенормировочный множитель ZF имеет вид
Z
F
Z
ξ
(μ
2
,m
2
)
FD
=
1
-
C
F
α
g
{
(1-ξ)N
ε
-1-
1
dx[2(1-x)-ξ]
4π
0
×
log
xm
2
+x(1-x)μ
2
+ξ(μ
2
+m
2
)
1
dx
x
}
,
ν
2
0
0
m
2
+μ
2
x
(9.13)
Z
m
Z
m
(μ
2
,m
2
)
=
1-C
F
α
g
{
3N
ε
-1-2
1
dx(1+x)log
xm
2
+x(1-x)μ
2
4π
0
ν
2
0
+
ξ(μ
2
+m
2
)
1
dx
x
}
.
0
m
2
+μ
2
x
(9.14)
Нужно подчеркнуть следующий важный факт: в то время как расходящаяся часть перенормировочного множителя ZF зависит от калибровки, расходящаяся часть множителя Zm калибровочно-независима, хотя в рамках данной схемы конечная часть перенормировочного множителя Zm все еще зависит от калибровки. Калибровочная зависимость множителя ZF означает, что можно выбрать такую калибровку, в которой этот множитель конечен. Из выражения (9.13) видно, что во втором порядке теории возмущений фермионный перенормировочный множитель ZF конечен в калибровке Ландау, когда ξ=114a)
14a Калибровка Ландау удобна а теории, описывающей базмассовые частицы. В этой калибровке на только перенормировочный множитель ZF конечен, но и массовый оператор Σ(2) равен нулю.
В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема; в ней электроны и фотоны выбираются на массовой поверхности (т.е. электронный пропагатор S задается в точке р̅2=m2, а фотонный D - при q̅2=0). Поскольку в КХД, по-видимому, происходит удержание кварков и глюонов, в ней не существует столь же естественного способа выбора схемы перенормировки. Следовательно, имеется определенный произвол в выборе перенормировочной схемы который может быть использован для того, чтобы максимально упростить вычисления. Этим требованиям удовлетворяет схема минимального вычитания, к обсуждению которой мы переходим.
2. Схема минимального вычитания
Как заметил тХофт [249], простейший способ исключения расходимостей из функций Грина состоит в отбрасывании полюсов по параметру 1/ε, появляющихся
в размерной регуляризации (минимальное вычитание MS). Впоследствии было показано [29], что эти полюса всегда появляются в комбинации
N
ε
=
2
- γ
E
+ log4π.
ε
(9.15)
Следовательно, если отбросить только член 2/ε, то остаются трансцендентные величины γE, log 4π. Напомним, что зти величины возникают в результате обобщения проводимых вычислений на случай пространства произвольной размерности D=4-ε, что находит свое отражение в членах вида
(4π)ε/2Γ(ε/2)=Nε+O(ε)
Кажется вполне естественным отбросить и эти трансцендентные слагаемые. Это требование приводит к модифицированной схеме минимального вычитания (в дальнейшем обозначаемой MS, в которой множитель Nε исключается полностью15). В рамках этой схемы находим следующие выражения для перенормировочных множителей:
15) Схема MS может быть сведена к схеме MS заменой выражения dDk̂=ν4-D0 × dDk/(2π)D на выражение dDk̂={ν4-d0/(2π)D} / {(4π)(4-D)/2Γ(3-D/2)}.
Z
=1 - C
α
g
(1-ξ)N
ε
,
F
F
4π
(9.16)
Z
=1 - C
3α
g
N
ε
.
m
4π
(9.17)
Мы будем пользоваться в основном схемой MS, поэтому черту над перенормировочными множителями Z, относящимися к этой схеме, в дальнейшем будем опускать. (В схеме MS множитель Zm не зависит от калибровки. В двухпетлевом приближении это проверено в работе [242], но результат, по-видимому, справедлив во всех порядках теории возмущений вследствие калибровочной независимости массового члена mqq .) Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что, определив коэффициент с выражением C=cNε можно написать