μ
=
;
(
μ
Φ)
Φ
и, следовательно, в случае лагранжиана (3.5) приводит к следующим уравнениям движения для полей q и В:
q
(x)(i
D
+m)=0 ,
(i
D
-
m)q(x)
=
0
,
D
G
μν
(x)
μ
G
μν
(x) + g
ƒ
B
(x)G
μν
(x) = 0 .
μ
a
a
abc
bμ
c
(3.6)
§ 4. Каноническое квантование, фиксация калибровки, ковариантные калибровки
Попытаемся проквантовать свободные глюонные поля. Лагранжиан (янг-миллсовский) для свободного глюонного поля имеет вид
0
= -
1
G
0μν
G
0a
,
YM
4
a
μν
G
0μν
=
μ
B
0ν
-
ν
B
0μ
;
a
a
a
(4.1)
здесь индекс 0 обозначает свободные поля. Выражение (4.1) аналогично лагранжиану, описывающему восемь невзаимодействующих электромагнитных полей. Оно инвариантно относительно свободных калибровочных преобразований:
B
0μ
B
0μ
-
μ
.
a
a
a
(4.2)
Рассмотрим проблемы и преимущества, связанные с калибровочной инвариантностью. В силу того что поля B определены неоднозначно, невозможно непосредственно проквантовать лагранжиан (4.1). В самом деле, предположим,
что для этого применяется стандартная процедура канонического квантования. Определим импульсы, канонически сопряженные полям B0a. Опуская индексы 0, обозначающие свободные поля, для импульсов π получаем выражения
π
μ
(x) =
YM
= G
μ0
,
a
(
0
B
aμ
)
a
(4.3)
из которых видно, что нулевые компоненты импульсов π0a(x) тождественно равны нулю. Канонические коммутационные соотношения записываются в виде
[π
μ
(x),B
ν
(y)]δ(x
0
- y
0
) = -iδ
g
μν
(x - y).
a
b
ab
(4.4)
Нулевые компоненты полей B0a(x) коммутируют со всеми операторами и, таким образом, являются c -числами.
В этом случае имеются две возможности. Первая состоит в выборе такой калибровки, в которой отсутствовали бы нефизические степени свободы. Но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность. Вторая возможность заключается в том, чтобы все компоненты полей Bμ рассматривать единообразно. Поскольку при этом сохраняются нефизические степени свободы, возникает необходимость введения пространства с индефинитной метрикой. Отложим обсуждение физических калибровок до следующего параграфа и рассмотрим ковариантные калибровки.
Как известно из электродинамики (на данном уровне изложения различий между КХД и КЭД нет), нельзя наложить лоренцеву калибровку вида μBμa = 0 и сохранить при этом ковариантные коммутационные соотношения. Поэтому приходится отказаться от рассмотрения соотношения B = 0 как операторного уравнения. Введем пространство ГуптыБлейлера ΧGB, в котором соотношение (4.4) принимается в приведенном выше виде. Покажем, что это приводит к возникновению в пространстве ΧGB индефинитной метрики. Назовем физическими векторы, удовлетворяющие условию
Φ
|
B
μ
(x)|Φ
=0 .
ph
μ
a
ph
(4.5)
Если теперь приравнять друг другу векторы, различающиеся на вектор с нулевой нормой, т. е. принять
|Φ
ph
|Φ'
ph
= |Φ
ph
+|Φ
(0)
,
(4.6)
где Φ0|Φ0 = 0, то мы получим пространство физических векторов .
Чтобы сохранить соотношение (4.4), необходимо модифицировать лагранжиан (4.1), добавив к нему член -(λ/2)a(μBμa)2 (фиксирующий калибровку). Теперь выражение для лагранжиана принимает вид
=
-
1
G
μν
G
-
λ
(
B
μ
)
2
.
λYM
4
a
aμν
2
μ
a
a
a
(4.7)
Такая модификация не приведет к физическим следствиям, по крайней мере в случае свободных полей, так как матричные элементы добавленного члена по физическим векторам в силу условия (4.5) обращаются в нуль. Импульсы, канонически-сопряженные полям B, теперь имеют вид
π
μ
(x) = G
μ0
(x) - λg
μ0
B
ν
(x) ,
λa
a
ν
a
(4.8)
и ни одна из их компонент не обращается в нуль. Следовательно, можно сохранить соотношение (4.4) без изменений. Но при этом возникает индефинитная метрика. Рассмотрим, например, соотношение (4.4) при μ = 0:
λ[
B
μ
(x),B
ν
(y)]δ(x
- y
)=iδ
δ
δ
(x-y) .
μ
a
b
0
0
ab
0ν
4
(4.9)
Это соотношение оказывается знаконеопределенным. Чтобы убедиться в этом, перейдем в импульсное пространство. Положим калибровочный параметр λ = 1 и введем канонические тетрады ε(p)(k), связанные с некоторым светоподобным вектором k:
ε
(0)
μ
=δ
μ0
;
ε
(i)
0
=0,
ε
(i)
k=0,
i=1,2,
ε
(3)
μ
=
1
k
0
k
μ
-δ
μ0
;
ε
(i)
ε
(j)μ
= -δ
, i,j = 1,2,3.
μ
ij
(4.10)
Компоненты ε(i)(i=1,2)
соответствуют физическим частицам с нулевой массой, ε3 представляет собой продольную компоненту, а компонента ε0 соответствует объекту со спином нуль. Поля B можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид
B
μ
b
(x)
=
1
(2π)
3/2
d
k
2k
0
p
{
e
-ikx
ε
(ρ)μ
(k)a
ρ
(b,k)
+
e
ikx
ε
(p)μ
(k)
*
a
+
(b,k)
}
.
p
(4.11)
Используя соотношения (4.4), получаем следующие коммутационные соотношения для операторов a и a+:
[a
(b,k),a
+
(b',k')] = -g
δ
2k
0
δ(
k-
k'),
μ
ν
μν
bb'
(4.12)
из которых видно, что вакуумное среднее 0|a0(k)a+0(k)|0 в рассматриваемой нами калибровке отрицательно.
Исходя из соотношений (4.12), можно вычислить пропагатор калибровочного поля B. Введя обозначение
TB
μ
(x)B
ν
= D
μν
(x),
a
b
0
ab
глюонный пропагатор при произвольном значении параметра λ можно записать в виде
D
μν
(x) = δ
i
d
4
ke
-ikx
-g
μν
+(1-λ
-1
)k
μ
k
ν
/(k
2