Кантор нашел способ измерить бесконечные множества, сравнив их размеры и определив, равны они или же одно из них больше другого. Этот способ лег в основу достаточно строгой теории теории трансфинитных чисел. Взяв за основу множество натуральных чисел, Кантор сопоставил ему множество четных чисел и показал, что натуральных чисел столько же, сколько четных.
Для каждого целого числа существует четное число, в два раза большее его. Так Кантор пришел к любопытному выводу: при рассмотрении бесконечного множества вещей целое не больше, чем его часть. Например, существует столько же квадратных чисел, сколько и натуральных, столько же кубов, чисел, делящихся на 10 или на 1000, сколько и натуральных. В результате Кантор понял, что не существует бесконечного множества, меньшего, чем множество натуральных чисел, и обозначил число элементов этого множества
0, или алеф-нуль (алеф первая буква еврейского алфавита). Чтобы провести различие между открытыми им и конечными числами, Кантор назвал новые числа трансфинитными.
Георг Кантор с женой. Фотография 1880 года. Этот подлинный гений из мира математики разработал теорию трансфинитных чисел, укротив непокорную бесконечность.
Кантор понял, что установить соответствие между натуральными и вещественными числами невозможно, следовательно, эти бесконечности не равны, и бесконечное множество вещественных чисел больше, чем бесконечное множество натуральных чисел. Так одна бесконечность оказалась больше другой. Первые трансфинитные числа, введенные Кантором, описывали мощность определенных множеств и обозначались особыми символами:
мощность множества вещественных чисел (): с;
мощность множества натуральных чисел, или алеф-нуль: ():
0;
мощность множества, превосходящего 0:
1
Далее, использовав аксиомы Цермело-Френкеля, можно убедиться, что три вышеописанных числа удовлетворяют соотношению 0 <
1 < c. Континуум «гипотеза (гипотеза о мощности множества вещественных чисел) гласит, что с =
1.
На Западе ноль оказал огромное влияние не только на математику, но и на эзотерику. В некоторых мистических течениях, в частности в орфизме, 0 обозначал «серебристое яйцо», небытие и был загадочным образом связан
с единицей как ее противоположность и отражение (в математике любое число, возведенное в степень ноль, равно единице). В экзистенциализме ноль обозначает смерть как состояние, в которое переходят силы живого, а избыток нулей означает манию величия.
Философ Мария Самбрано видела в нуле тень всего, что нельзя распознать, нечто столь сжатое, что его можно считать равносильным пустоте. Это «ничто», заключенное в число, служило источником вдохновения для поэтов. Так, Хосе Мануэль Кабальеро Бональд дал нулю такие прекрасные эпитеты: «числовой избыток пустоты», «величина, которая начинается там же, где и заканчивается», «зачаточная цифра и отправная точка», «молчание, отсылающее к иному, нейтральному пути молчания» Антонио Поркья говорил, что в своем путешествии по числовым джунглям, которые мы называем миром, его путеводной звездой был 0. Какие прекрасные выражения для чего-то незначительного. Незначительного ли?
Чарльз Сэйфе выделяет ноль среди остальных чисел. Ноль, по его мнению, позволяет увидеть следы невыразимого и бесконечного. Именно поэтому нуля боялись, его ненавидели и даже запрещали. Физические особенности пространства, позволяющие (в теории) двигаться со скоростями, превышающими скорость света, происходят из парадокса, причиной которого является ноль в уравнении общей теории относительности Эйнштейна. В этом заключается еще одно доказательство важности нуля согласно Сэйфе, который зловеще заключает: «Ноль нельзя игнорировать. Он не только содержит секрет нашего существования, но и отвечает за конец вселенной». Наконец, ноль, подобно кругу, то есть по своей форме, символизирует вечность: «В день Страшного суда врата неба откроются перед божьими избранниками. И они туда вкатятся, ибо воскреснут в самой совершенной из форм: сферической. Так возвестил нам Ориген» (Дж. А. Айрленд).
СИЛА НУЛЯДля математика и автора научно-популярных книг Чарльза Сэйфе, который посвятил нулю целую книгу (Zero: The Biography of a Dangerous Idea), это особенное число близнец бесконечности. Сэйфе добавляет, что в основе всех потрясений лежат ноль и бесконечность. Чтобы продемонстрировать силу нуля, Сэйфе приводит такой случай: 21 сентября 1997 года, когда крейсер «Йорктаун» шел к побережью Вирджинии, он внезапно остановился в открытом море. «Йорктаун» был готов отразить удар торпеды или взрыв мины, но никто не предусмотрел систему защиты от нуля. И напрасно. В код новой компьютерной программы контроля работы двигателей был ошибочно включен ноль. Эту «бомбу» никто не обнаружил, и ноль оставался в программном коде до тех пор, пока компьютер не попытался его использовать. Тут и произошел сбой: когда программа попыталась разделить 0 на 80000 лошадиных сил (такой была мощность судовых двигателей), двигатель в мгновение ока отключился. Чтобы восстановить контроль над системой и направить крейсер в ближайший порт, потребовалось три часа. На устранение ошибки в программе, восстановление работы двигателя и подготовку корабля к бою у инженеров ушло два дня. Никакая другая ошибка не смогла бы причинить подобный ущерб.