В целом большинство математиков XVI и XVII веков не принимали отрицательные числа как таковые и лишь иногда признавали их истинными решениями уравнений. Взгляды некоторых математиков той эпохи на отрицательные числа были весьма интересными. Английский математик Джон Валлис в своей книге «Арифметика бесконечного» (1656) утверждал, что поскольку соотношение ОС:0 при положительных ОС является бесконечным, то при замене знаменателя на отрицательное число р отношение ОС:р должно быть больше бесконечности. Эти рассуждения весьма любопытны. Именно Джон Валлис дополнил экспоненциальную нотацию отрицательными степенями на основе некоторых примеров. Так, он доказал, что если последовательность обратных кубов (1/1, 1/8, 1/27), степени которых равны 3, почленно умножить на последовательность квадратов (1, 4, 9), степени которых равны 2, то результатом будет последовательность (1/1, 4/8, 9/27). Результат равносилен последовательности 1/1, 1/2, 1/3 последовательности чисел, обратных натуральным, следовательно, показатель степени членов этой последовательности равен 1 = 3 + 2.
Сегодня существование отрицательных чисел признается повсеместно, и они используются в расчетах наравне с положительными. Распространение отрицательных чисел позволило открыть мнимые числа, о которых мы поговорим дальше.
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА СТОЧКИ ЗРЕНИЯ АРИФМЕТИКИАлгебраическое определение отрицательных чисел гласит, что их можно рассматривать как расширение натуральных чисел, вводимое для того, чтобы уравнение х - у = z имело решение z для всех возможных значений х и у. Если говорить об основных арифметических действиях, то сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию: 5 + (-3) = 5 3 = 2 (если говорить финансовым языком, то можно сказать, что если у нас есть 5 денежных единиц и мы должны или израсходовали 3 денежных единицы, то наши собственные средства составляют 2 денежные единицы). Вычитание отрицательного числа равносильно сложению с положительным числом: 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 (если говорить финансовым языком, то можно сказать, что если у нас есть 5 денежных единиц и нам должны 2 денежных единицы, то наши собственные средства составляют 7 денежных единиц). Результатом умножения двух отрицательных чисел является положительное число. Это можно подтвердить, выразив умножение как сложение числа с самим собой заданное число раз: -4(-3) = - (-4) - (-4) - (-4) = 4 + 4 + 4 = 12.
Квадратный корень из 1 впервые обозначил буквой i Леонард Эйлер в 1777 году, дав ему при этом приведенную выше характеристику. Любое мнимое число можно записать в виде ib, где Ь вещественное число, i мнимая единица, обладающая следующим свойством: i2 = 1. Числа вида (a-1) = ai называются чисто мнимыми, числа вида (а + b-1) = а + bi комплексными. Эйлер использовал -1 в бесконечных рядах и с помощью этого числа открыл свою удивительную формулу еiπ = 1.
Любопытно, что позже математики увидели: мнимые числа можно применить в расчетах переменных токов. С их помощью сегодня рассчитываются, калибруются и контролируются такие детали, как статоры в электрических трансформаторах.
Напоследок отметим еще одно любопытное свойство этих чисел: результаты их возведения в различные степени повторяются (повторяющаяся часть обведена рамкой):
Леонард Эйлер (17071783) совершил множество математических открытий, среди которых первые попытки использовать комплексные числа.
ПРЕДШЕСТВЕННИКИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛПервый известный нам квадратный корень из отрицательного числа равняется (81-144), он упоминается в «Стереометрике» Герона. Другое похожее число, (18492016), было найдено Диофантом как возможный корень одного из уравнений второй степени. Ни Герон, ни Диофант не рассматривали эти числа всерьез: даже отрицательные числа сами по себе они считали ложными, абсурдными и вымышленными, а уж квадратные корни из отрицательных чисел вообще не принимались во внимание. Первым математиком современности, который записал формулу, содержавшую «бессмысленный» квадратный корень из отрицательного числа, был итальянец Джероламо Кардано. Рассуждая о возможности разбиения числа 10 на части, произведение которых равнялось бы 40, он показал, что эта задача не имеет рациональных решений, но ее ответ можно записать в виде двух невозможных математических выражений: 5 + -15 и 5 - -15.
Все изменилось благодаря гениальному Георгу Кантору. Этот немецкий математик, родившийся в Санкт-Петербурге в 1845 году, предположил, что бесконечность можно использовать наравне с другими числами и совершать с ней действия точно так же, как и с другими числовыми величинами. Кроме того, он доказал, что существуют различные виды бесконечности, и одни из них больше других. Одна бесконечность больше другой? Да разве это возможно?! Пренебрежение математиков по отношению к бесконечности и ее абстрактной и двусмысленной природе Кантор объяснял тем, что понятие «бесконечность» применялось в одинаковой степени к любым множествам, которые не являлись конечными, в то время как некоторые из них были в определенной степени измеримы и имели сопоставимые размеры.