А = 1000(1 + 1,00/12)12 = 1000(1,08333)12 = 2610 единиц.
Можно заметить, что чем жаднее становился Ван Жадин, тем чаще он взимал проценты и тем больше получал в итоге. Возникает неизбежный вопрос: существует ли некая предельная сумма или же ростовщик может бесконечно наращивать свой доход, взимая проценты все чаще и чаще?
Посмотрим, что получится, если ростовщик будет взимать проценты ежедневно, то есть 365 раз в год:
А = 1000 (1 + 1,00/365)365 = 2715 единиц.
Его доход возрос не слишком сильно по сравнению с 2610 единицами, которые Ван Жадин получит, если будет взимать проценты ежемесячно. Если взимать проценты каждый час, то общая сумма к уплате составит 2718 единиц. Можно взимать проценты ежеминутно и даже ежесекундно, но вскоре станет ясно, что существует предел, к которому будет стремиться итоговая сумма вне зависимости от того, насколько часто будут взиматься проценты. Этот предел можно выразить так:
Таким образом, максимально возможная сумма, которую мы можем получить с одной денежной единицы, если будем взимать проценты бесконечное число раз, будет равна е = 2,71828182845.
Но что обозначают отрицательные числа? За пределами теоретической математики отрицательные числа обозначают противоположную величину, отсутствие, долг. Отрицательные числа используются для обозначения величин, лежащих на измерительной шкале ниже 0, например для отрицательных значений температуры или для указания долга в финансовых транзакциях. По сути, первые коммерсанты оперировали понятиями дебета и кредита, не осознавая, что вычитают отрицательные числа из положительных их методы были практическими и конкретными. Нотация, которая сегодня используется для обозначения отрицательных и положительных чисел (+ и ), также появилась в торговле: с помощью этих знаков еще в XV веке немецкие торговцы обозначали веса, большие и меньшие среднего. Однако в математике процесс принятия отрицательных чисел проходил не так просто.
Вся история отрицательных чисел в западной цивилизации связана с непониманием и неприятием. Математики Возрождения, столкнувшись с отрицательными числами, отнеслись к ним так же недоверчиво, как и Диофант или индийский математик Бхаскара многими веками ранее. Несмотря на то что в XVIXVII веках отрицательные числа были уже известны, большинство математиков того времени не считали их числами, а если (с неохотой) соглашались с этим, то не принимали как решения уравнений. Николя Шюке в XV веке и Михаэль Штифель в XVI веке называли отрицательные числа абсурдными числами, и лишь одному математику было известно правило знаков Джероламо Кардано.
Французский математик Франсуа Виет, современник Кардано, полностью отвергал отрицательные числа, Декарт признавал их лишь частично. Виет называл отрицательные решения уравнений ложными, считая, что эти числа обозначают величины, меньшие, чем ничего. Тем не менее Декарт доказал, что для данного уравнения можно получить другое, решения которого будут больше решений данного уравнения на заданную величину. Таким образом, уравнение с отрицательными решениями могло быть преобразовано в новое уравнение с положительными решениями. Так как стало возможным сменить «ложные» решения на другие, «истинные», Декарт был готов принять отрицательные числа. Паскаль тем не менее считал результат вычитания 4 из 0 абсолютной бессмыслицей.
Портреты двух великих мыслителей XVII века: Рене Декарта (слева) и Блеза Паскаля.
Эти философы не сходились во мнениях по широкому кругу вопросов, в том числе придерживались прямо противоположных точек зрения на отрицательные числа.
Именно друг Паскаля, богослов и математик Антуан Арно, выдвинул определяющий аргумент против отрицательных чисел. Арно поставил под сомнение равенство 1:1 и 1:1. Он указывал, что 1 меньше, чем +1, следовательно, как может отношение меньшего числа к большему равняться отношению большего числа к меньшему? Эта
проблема широко обсуждалась математиками той эпохи. В 1712 году Лейбниц признал это возражение верным, но указал, что произвести вычисления с помощью этих пропорций возможно, так как по форме они верны.
Одним из первых математиков, кто принял отрицательные числа, был англичанин Томас Хэрриот (15601621). Он не признавал существования отрицательных корней уравнений, однако рассмотрел уравнения с отрицательными коэффициентами при одной из переменных. Математик фламандского происхождения Симон Стевин использовал уравнения с положительными и отрицательными коэффициентами, признавая, в отличие от своего английского коллеги, существование отрицательных корней.
В своей книге Invention nouvelle en lalgebre (1629) французский математик Альбер Жирар рассматривал отрицательные числа наравне с положительными и приводил два решения квадратного уравнения, причем в одном из случаев оба решения были отрицательными. Жирар отчасти понимал, что отрицательные решения по своему смыслу противоположны положительным, тем самым предвосхитив понятие числовой прямой («Отрицательное в геометрии означает движение назад, писал Жирар, в то время как положительное есть движение вперед»).