Одна из многочисленных интернет-страниц, посвященных десятичной записи чисел, на которой представлены всевозможные математические рекорды.
Математики не раз задавались вопросом, существует ли формула, связывающая два любопытных числа е и π. Такая формула действительно существует. Более того, их несколько, наиболее известна из них формула Эйлера, которая считается красивейшей формулой всех времен и записывается так:
еiπ + 1 = 0, где i = -1
Почему математикам эта формула кажется столь красивой? Она содержит важнейшие константы и основные действия, составляющие основу всей математики. Она содержит число 1 первое в последовательности натуральных чисел. Она содержит операцию сложения, с помощью которой можно определить не только все остальные натуральные числа, но и три остальные арифметические операции: вычитание, умножение и деление. Эта формула содержит 0 категорию, которая в течение нескольких тысяч лет оставалась недоступной для понимания человечества. Она также содержит два важнейших трансцендентных числа: е и π. Она содержит мнимую единицу -1, с помощью которой определяются комплексные числа, и, наконец, поскольку это уравнение содержит число е, оно связано со следующим бесконечным рядом одним из важнейших рядов в математике.
ЧИСЛО е В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИЧисло π, как нам всем известно, используется при решении всевозможных задач с кругами и окружностями. А для чего используется число е? Рассмотрим несколько примеров.
«Война» это карточная игра, в которой между двумя игроками делится колода карт. Каждый игрок по очереди выкладывает на стол верхнюю карту своей колоды. Выигрывает тот, кто покажет карту более высокого достоинства. Если же оба игрока показывают карты одного достоинства, на стол выкладывается еще по одной карте, и т. д. Если вести игру с двумя колодами, то вероятность того, что вся колода перейдет от одного игрока к другому, при этом игроки ни разу не вытянут карты одинакового достоинства, равняется 1/е.
Веревка, на которой вешается одежда для просушки, имеет форму кривой, которая называется цепной линией и описывается формулой 1/2 (еx + е-х).
Предельный доход при использовании сложных процентов, когда число периодов начисления процентов стремится к бесконечности, равен е и выражается как (1 + 1/n)n = е.
Численность популяции животных и население планеты возрастает по тому же закону, что и сложные проценты, и также ограничивается числом е. Подобный рост называется экспоненциальным, обратный процесс называется экспоненциальным уменьшением.
Это примечательное число применяется и в судебной медицине: в настоящее время известно, что температура трупов падает по экспоненциальному закону, и число е фигурирует в формуле, позволяющей узнать, сколько времени прошло с момента смерти человека.
I = PR,
где I сумма процентов, Р сумма основного долга, R процентная ставка.
Ван Жадин предложил взимать проценты не только с основного долга, но и с невыплаченных процентов. Так появились сложные проценты, которые рассчитываются по следующей формуле:
A = P(1 + R/n)n
где А общая сумма к уплате по основному долгу Р с процентной ставкой R, а n число периодов, за которые начисляются проценты.
Ван Жадин выдал займ в тысячу денежных единиц под 100 % годовых. По прошествии одного года бедный должник должен был вернуть ему 2000 денежных единиц: 1000 в уплату основного долга и еще 1000 в виде процентов по столь «щедрому» займу. Чтобы определить общую сумму к уплате, нужно использовать первую формулу, заменив Р на 1000 (денежных единиц), R на 1,0 (100 %). В результате получим сумму процентов к уплате 1000 денежных единиц.
Ван Жадин в течение многих лет взимал 1000 денежных единиц с каждой 1000, выданной в виде займа, и вот он решил, что настало время требовать большую плату за свой «щедрый» вклад в развитие торговли. Предположим, что по закону максимальная процентная ставка ограничена 100 %. Как ростовщик может обойти это ограничение? Ему в голову пришла блестящая идея. Почему нельзя выдавать деньги под 50 % за полгода? В этом случае во втором полугодии сумма займа будет составлять половину основного долга плюс проценты, начисленные за первые 6 месяцев, при этом все будет выполняться по закону. Здесь щедрый ростовщик обнаружил, что если рассчитывать проценты по-новому, то его доходы возрастут:
A = P(1 + R/n)n, где Р = 1000; R = 1,00 (100 %), n = 2. В нашем случае имеем:
А = 1000 (1 + 1,00/2)2 = 1000(1 + 0,5)2 = 1000(1,5)2 = 2250.
С займа в 1000 денежных единиц ростовщик теперь в конце года будет получать 2250 единиц. Разве не удивительно? При этом он ни в чем не нарушает закон.
Однако жадность Ван Жадина не знала пределов. Стремясь еще больше увеличить свои доходы, он задумался: что произойдет, если начислять проценты еще чаще? Он решил взимать проценты каждые три месяца по 25 % четыре раза в год, соблюдая правило, по которому процентная ставка не могла превышать 100 % годовых. Сумма к уплате по займу в этом случае оказалась такой:
А = 1000(1 + 0,25)4 = 10001,254 = 2440 единиц.
Теперь ростовщик получит почти на 500 денежных единиц больше по сравнению с использованием простых процентов. Похоже, он напал на золотую жилу. Он решил взимать проценты 12 раз в год, то есть ежемесячно: