к какому распределению яркости по диску звезды приводит каждая из этих формул./p pПользуясь для функции (τ) формулами (2.24), (2.33) и (2.40), полученными в приближениях Шварцшильда Шустера, Эддингтона и в первом приближении Чандрасекара, соответственно находим/p p(0,θ)/p p=/p p/p p/p p/p p/p p1/p p2/p p+/p pcosθ/p p/p p/p p/p p,/p p(2.55)/p p(0,θ)/p p=/p p/p p/p p/p p/p p1/p p2/p p+/p p3/p p4/p pcosθ/p p/p p/p p/p p,/p p(2.56)/p pи/p p(0,θ)/p p=/p p/p p/p p/p p/p p3/p p4/p p+/p p3/p p4/p pcosθ/p p/p p/p p/p p,/p p(2.57)/p pДля отношения яркости в центре диска к яркости на краю, т.е. для величины (0,0)/(0,π/2), эти формулы соответственно дают: 3, 2,5 и 2,7. Как мы увидим ниже, точное значение этой величины равно 2,9./p pТаким образом, яркость в центре диска значительно больше яркости на краю. Объясняется это тем, что в центре диска излучение выходит в среднем из более глубоких слоёв, чем на краю./p pПриведённый выше теоретический закон распределения яркости по диску звезды в общем подтверждается наблюдательными данными. Эти данные получены в основном при изучении Солнца, так как дисков других звёзд мы не видим. Некоторые сведения о потемнении диска звезды при переходе от центра к краю даёт также анализ кривых изменения блеска затменных переменных. В этом случае одна звезда периодически закрывает другую и по свечению оставшейся не закрытой части диска звезды можно судить о распределении яркости по диску./p pПодчеркнём, что в этом параграфе речь шла о полных (т.е. проинтегрированных по всему спектру) яркостях. Наблюдения же дают не только распределение по диску звезды полной яркости, но и распределение яркости в различных длинах волн. Вопрос о законе потемнения диска звезды при переходе от центра к краю в различных длинах волн будет рассмотрен ниже./p p strong§ 3. Точное решение основных уравнений/strong /p p strong1. Уравнение для резольвенты./strong /p pПриведённое выше интегральное уравнение Милна представляет собой частный случай уравнений, довольно часто встречающихся в астрофизике. Все эти уравнения имеют ядра, зависящие от абсолютного значения разности двух аргументов. Для решения таких уравнений был предложен сравнительно простой метод, который мы сейчас и изложим (см. [5]). Затем этот метод будет использован для получения точного решения задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. В дальнейшем тем же методом будут решены другие астрофизические задачи (об образовании линий поглощения в звёздных спектрах, о рассеянии света в атмосферах планет и т.д.)./p pРассмотрим интегральное уравнение/p p(τ)/p p=/p p/p p/p p0/p p/p p(|τ-τ'|)/p p(τ')/p pτ'/p p+/p p(τ)/p p,/p p(3.1)/p pопределяющее функцию (τ) (не совпадающую, вообще говоря, с введённой ранее функцией (τ), но имеющую аналогичный физический смысл). Здесь (|τ-τ'|) ядро уравнения и (τ) функция, характеризующая распределение источников излучения в среде. Функции (τ) и (τ) являются заданными и для разных задач различными (с примерами мы познакомимся позднее)./p pРешение уравнения (3.1) может быть представлено в виде/p p(τ)/p p=/p p(τ)/p p+/p p/p p/p p0/p pΓ(τ,τ')/p p(τ')/p pτ'/p p,/p p(3.2)/p pгде Γ(τ,τ') резольвента, удовлетворяющая, как известно, уравнению/p pΓ(τ,τ')/p p=/p p/p p(|τ-τ'|)/p p+/p p/p p/p p0/p p/p p(|τ-τ''|)/p pΓ(τ'',τ')/p pτ''/p p./p p(3.3)/p pПри этом Γ(τ,τ') является симметричной функцией от τ и τ', т.е. Γ(τ,τ')=Γ(τ',τ)./p pПользуясь уравнением (3.3), мы можем получить новое уравнение для резольвенты. Для этого перепишем (3.3) в виде/p pΓ(τ,τ')/p p=/p p(|τ-τ'|)/p p+/p pτ/p p/p p0/p p(α)/p pΓ(τ-α,τ')/p pα/p p+/p p+/p p/p p/p p0/p p(α)/p pΓ(τ+α,τ')/p pα/p p./p p(3.4)/p pДифференцируя (3.4) сначала по τ, затем по τ' и складывая почленно полученные равенства, находим/p pΓ/p pτ/p p+/p pΓ/p pτ'/p p=/p p(τ)/p pΓ(0,τ')/p p+/p p+/p p/p p/p p0/p p(|τ-τ''|)/p p/p p/p p/p pΓ/p pτ/p p+/p pΓ/p pτ'/p p/p p/p p/p pτ''/p p./p p(3.5)/p pС другой стороны, из уравнения (3.3) имеем/p pΓ(0,τ)/p p=/p p(τ)/p p+/p p/p p/p p0/p p(|τ-τ''|)/p pΓ(τ'',0)/p pτ''/p p./p p(3.6)/p pСравнение (3.5) и (3.6) даёт/p pΓ/p pτ/p p+/p pΓ/p pτ'/p p=/p pΦ(τ)/p pΦ(τ')/p p,/p p(3.7)/p pгде обозначено/p pΓ(0,τ)/p p=/p pΦ(τ)/p p./p p(3.8)/p pИз (3.7) следует (при τ'τ):/p pΓ(τ,τ')/p p=/p pΦ(τ'-τ)/p p+/p pτ/p p/p p0/p
pΦ(α)/p pΦ(α+τ'-τ)/p pα/p p./p p(3.9)/p pТаким образом, резольвента Γ(τ,τ') выражается через функцию Φ(τ), зависящую только от одного аргумента./p pДля определения функции Φ(τ) может быть использовано уравнение/p pΦ(τ)/p p=/p p(τ)/p p+/p p/p p/p p0/p p(|τ-τ'|)/p pΦ(τ')/p pτ'/p p,/p p(3.10)/p pпредставляющее собой уравнение (3.6) при учёте (3.8). Другое уравнение для определения Φ(τ) будет получено ниже./p p strong2. Вспомогательные уравнения./strong /p pЧерез функцию Φ(τ) выражается решение уравнения (3.1) при любой функции (τ). Поэтому функция Φ(τ) должна играть фундаментальную роль в теории рассматриваемых уравнений. С целью определения этой функции мы сейчас получим некоторые вспомогательные уравнения. Вместе с тем, как мы увидим дальше, эти уравнения представят интерес и сами по себе./p pРассмотрим уравнение/p p(τ,)/p p=/p p/p p/p p0/p p(|τ-τ'|)/p p(τ',)/p pτ'/p p+/p p/p p sup-τ/sup /p p,/p p(3.11)/p pявляющееся частным случаем уравнения (3.1). На основании формулы (3.2) имеем/p p(τ,)/p p=/p p/p p sup-τ/sup /p p+/p p/p p/p p0/p pΓ(τ',τ)/p p/p p sup-τ'/sup /p pτ'/p p./p p(3.12)/p pУмножая (3.7) на sup-τ'/sup, интегрируя по τ' в пределах от 0 до и учитывая (3.12), получаем/p p(τ,)/p pτ/p p=-/p p(τ,)/p p+/p pΦ(τ)/p p/p p/p p/p p1/p p+/p p/p p/p p0/p pΦ(τ')/p p/p p sup-τ'/sup /p pτ'/p p/p p/p p/p p./p p(3.13)/p pНо из (3.12) следует/p p(0,)/p p=/p p1/p p+/p p/p p/p p0/p pΦ(τ)/p p/p p sup-τ/sup /p pτ/p p./p p(3.14)/p pПоэтому находим/p p(τ,)/p pτ/p p=-/p p(τ,)/p p+/p p(0,)/p pΦ(τ)/p p./p p(3.15)/p pИнтегрирование уравнения (3.15) даёт/p p(τ,)/p p=/p p(0,)/p p/p p/p p/p p/p p sup-τ/sup /p p+/p pτ/p p/p p0/p p/p p sup-(τ-τ')/sup /p pΦ(τ')/p pτ'/p p/p p/p p/p p./p p(3.16)/p pВ большинстве задач о переносе излучения ядро интегрального уравнения (3.1) представляется в виде/p p(τ)/p p=/p p/p p/p p/p p()/p p/p p sup-τ/sup /p p/p p,/p p(3.17)/p pгде () произвольная функция, и некоторые числа. В этом случае для определения функции (0,) получаются сравнительно простые уравнения. В свою очередь искомая функция Φ(τ) выражается через функцию (0,)./p pЕсли (τ) даётся формулой (3.17), то из уравнения (3.11) следует/p p(0,)/p p=/p p1/p p+/p p/p p/p p/p p()/p p/p p/p p/p p0/p p(τ,)/p p/p p sup-τ/sup /p pτ/p p./p p(3.18)/p pУмножая (3.15) на sup-τ/sup, интегрируя по τ в пределах от 0 до и принимая во внимание (3.14), находим/p p/p p/p p0/p p(τ,)/p p/p p sup-τ/sup /p pτ/p p=/p p(0,)(0,)/p p+/p p./p p(3.19)/p pПодстановка (3.19) в (3.18) даёт/p p(0,)/p p=/p p1/p p+/p p(0,)/p p/p p/p p/p p()/p p(0,)/p p+/p p/p p./p p(3.20)/p pМы получили нелинейное интегральное уравнение для определения (0,), которое легко может быть решено численно./p pИз уравнения (3.20) можно также получить линейное интегральное уравнение для определения (0,). Умножая (3.20) на ()/(-) и интегрируя по в пределах от до после небольших преобразований находим/p p(0,)/p p/p p/p p/p p1/p p-/p p2/p p/p p/p p/p p()/p p/p p²-²/p p/p p/p p/p p=/p p1/p p-/p p/p p/p p/p p()/p p(0,)/p p-/p p/p p./p p(3.21)/p pРешение этого уравнения может быть получено в явном виде./p p strong3. Определение функции Φ(τ)./strong /p pСравнивая между собой уравнения (3.10) и (3.11), мы видим, что свободный член уравнения (3.10) является суперпозицией свободных членов уравнения (3.11). Поэтому имеем/p pΦ(τ)/p p=/p p/p p/p p/p p()/p p(τ,)/p p/p p./p p(3.22)/p pУмножая (3.16) на () и интегрируя по в пределах от до , находим/p pΦ(τ)/p p=/p p(τ)/p p+/p pτ/p p/p p0/p p(τ-τ')/p pΦ(τ')/p pτ'/p p,/p p(3.23)/p pгде/p p(τ)/p p=/p p/p p/p p/p p()/p p(0,)/p p/p p sup-τ/sup /p p/p p./p p(3.24)/p pУравнение (3.23) является искомым уравнением для определения функции Φ(τ). Применяя к нему преобразование Лапласа, получаем/p p/p p/p p0/p pΦ(τ)/p p/p p sup-τ/sup /p pτ/p p=/p p/p p/p p/p p1/p p-/p p/p p/p p/p p()/p p(0,)/p p/p p+/p p¹/p p/p p/p p-/p p1./p p(3.25)/p pТаким образом, определение резольвенты уравнения (3.1) сводится к нахождению функции (0,) из