Метод Эддингтона. Умножим первое из уравнений (2.9) на 2π cosθ sinθ θ и проинтегрируем от 0 до π. Пользуясь формулой (2.21), получаем
2π
τ
π
0
(τ,θ)
cos²θ
sinθ
θ
=
.
(2.25)
Вынесем за знак интеграла среднее значение cos² на сфере, равное ¹/ т.е. приближённо положим
π
0
(τ,θ)
cos²θ
sinθ
θ
=
1
3
π
0
(τ,θ)
sinθ
θ
.
(2.26)
Тогда вместо (2.25) при учёте второго из уравнений (2.9) находим
4π
3
(τ)
τ
=
.
(2.27)
Так как полный поток излучения постоянен в фотосфере, то из (2.27) следует
(τ)
=
3
4π
τ
+
,
(2.28)
где произвольная постоянная.
Для нахождения напишем выражение для величин (τ) и при τ=0. Принимая во внимание граничное условие (2.10), находим
(0)
=
1
2
π
0
(0,θ)
sinθ
θ
,
(2.29)
а также приближённо
=
π
π
0
(0,θ)
sinθ
θ
.
(2.30)
Поэтому имеем
(0)
=
2π
.
(2.31)
При условии (2.31) для постоянной получаем
=
2π
.
(2.32)
Подстановка (2.32) в (2.28) даёт
(τ)
=
3
4
τ
+
1
2
,
(2.33)
где, как и раньше, использовано обозначение (2.23).
Мы видим, что выражение (2.33) для функции (τ) не сильно отличается от выражения (2.24), полученного предыдущим методом.
3. Применение квадратурных формул.
Изложенные выше приближённые методы нашли довольно широкое применение в астрофизике. Однако точность результатов, получаемых этими методами, сравнительно невелика. Поэтому получил распространение другой приближённый метод, основанный на замене интегрального члена уравнения лучистого равновесия суммой Гаусса для численных квадратур. Уравнение переноса излучения пишется при этом для тех значений cosθ, которые являются точками деления интервала в квадратурной формуле. Это позволяет свести задачу к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Преимущество этого метода состоит в том, что можно повышать точность результатов, увеличивая число членов квадратурной формулы. Однако и при небольшом числе членов этой формулы получаются удовлетворительные результаты благодаря высокой точности замены интеграла суммой Гаусса.
Указанный метод был подробно разработан Чандрасекаром [4]. Мы сейчас применим этот метод к решению системы уравнений (2.9).
Предварительно перепишем эту систему в виде одного уравнения:
μ
(τ,μ)
τ
=
(τ,μ)
-
1
2
+1
-1
(τ,μ')
μ'
,
(2.34)
где обозначено μ=cosθ.
Представим интегральный член уравнения (2.34) в виде суммы согласно квадратурной формуле Гаусса:
+1
-1
(τ,μ)
μ
=
=-
(τ,μ
)
.
(2.35)
Здесь μ-,,μ-1,μ1,μ суть корни полинома Лежандра 2(μ) и некоторые весовые множители (-=). Представление (2.35) тем точнее, чем больше
В -м приближении уравнение (2.34) заменяется системой линейных дифференциальных уравнений порядка 2:
μ
τ
=
-
1
2
(
=
±1,
±2,
,
±
),
(2.36)
где для краткости (τ,μ) обозначено через .
Произвольные постоянные, входящие в общее решение этой системы, определяются из следующих условий: 1) отсутствует излучение, падающее на фотосферу извне, т.е. -=0 при τ=0 (=1,2, ,); 2) не может быть членов, экспоненциально возрастающих с τ, 3) задан поток излучения =π.
После нахождения величин из уравнений (2.36) основная искомая функция (τ) определяется по формуле
(τ)
=
1
2
.
(2.37)
Найдём в виде примера функцию (τ) в первом приближении. В данном случае μ1=-μ-1=1/3, 1=-1=1. Поэтому вместо (2.36) получаем
1
3
1
τ
=
1
-
1
2
(
1
+
-1
),
-
1
3
-1
τ
=
-1
-
1
2
(
1
+
-1
).
(2.38)
Система уравнений (2.38) должна быть решена при условиях, что -1=0 при τ=0 и
2
3
(
1
+
-1
)=
.
(2.39)
Находя 1 и -1 из (2.38) при указанных условиях, для искомой функции (τ) получаем
(τ)
=
3
4
τ
+
1
3
.
(2.40)
Как мы увидим дальше, выражение (2.40) для функции (τ) оказывается более точным, чем полученные ранее выражения (2.24) и (2.33). Увеличив число членов в квадратурной формуле (2.35), можно получить ещё более точные выражения для (τ).
4. Интегральное уравнение Милна.
Из системы уравнений (2.9) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции (τ). Для этого надо решить первое из уравнений (2.9) относительно (τ,θ) и подставить найденное выражение (τ,θ) через (τ) во второе из этих уравнений. Такой путь решения задачи представляется наиболее естественным, так как мы получаем одно уравнение для определения функции, зависящей только от одного аргумента.
Общее решение первого из уравнений (2.9) имеет вид
(τ,θ)
=
(τ
,θ)
-(τ-τ)secθ
+
+
τ
τ
-(τ'-τ)secθ
(τ')
secθ
τ'
.
(2.41)
Оно представляет собой уравнение переноса излучения в интегральной форме [сравните с уравнением (1.14)].
Уравнение (2.41) следует рассматривать отдельно для двух случаев: для излучения, идущего снизу вверх, и для излучения, идущего сверху вниз.
В первом случае, полагая τ= и считая, что интенсивность излучения не возрастает экспоненциально с ростом τ, получаем
(τ,θ)
=
τ
-(τ'-τ)secθ
(τ')
secθ
τ'
θ
p=/p p1/p p2/p p/p p/p pτ/p p(τ')/p pτ'/p p×/p p×/p pπ/2/p p/p p0/p p/p p sup-(τ'-τ)secθ/sup /p p(τ')/p psecθ/p psinθ/p pθ/p p-/p p-/p p1/p p2/p pτ/p p/p p0/p p(τ')/p pτ'/p pπ/p p/p pπ/2/p p/p p sup-(τ'-τ)secθ/sup /p p(τ')/p psecθ/p psinθ/p pθ/p p./p p(2.44)/p pПоложим secθ= в первом интеграле и -secθ= во втором. Учитывая, что secθsinθθ=/ вместо предыдущего уравнения получаем/p p(τ)/p p=/p p1/p p2/p p/p p/p pτ/p p(τ')/p pτ'/p p/p p/p p1/p p/p p sup-(τ'-τ)/sup /p p/p p/p p+/p p+/p p1/p p2/p pτ/p p/p p0/p p(τ')/p pτ'/p p/p p/p p1/p p/p p sup-(τ-τ')/sup /p p/p p/p p./p p(2.45)/p pТак как показатели в обеих экспонентах могут быть представлены в виде -|τ-τ'|, то (2.45) короче записывается так:/p p(τ)/p p=/p p1/p p2/p p/p p/p p0/p p(τ')/p pτ'/p p/p p/p p1/p p/p p sup-|τ-τ'|/sup /p p/p p/p p./p p(2.46)/p pЯдро интегрального уравнения (2.46) есть интегральная показательная функция, определяемая формулой/p pτ/p p=/p p/p p/p p1/p p/p p sup-τ/sup /p p/p p/p p./p p(2.47)/p pЗаметим, что функция τ при τ=0 имеет логарифмическую особенность, а при τ стремится к нулю как sup-τ/sup/τ./p pС помощью (2.47) интегральное уравнение для определения функции (τ) окончательно записывается в виде/p p(τ)/p p=/p p1/p p2/p p/p p/p p0/p p/p p|τ-τ'|/p p(τ')/p pτ'/p p./p p(2.48)/p pЭто интегральное уравнение называется уравнением Милна./p pУравнение (2.48) определяет функцию (τ) с точностью до произвольного множителя, который находится из того условия, что задан поток излучения =π./p pВыразим поток излучения через функцию (τ). Для этого надо подставить в формулу (2.21) выражения (2.42) и (2.43). Выполняя такие же преобразования, как и при получении уравнения (2.48), находим/p p/p p=/p p2/p p/p p/p pτ/p p(τ')/p p/p p(τ'-τ)/p pτ'/p p-/p p2/p pτ/p p/p p0/p p(τ')/p p/p p(τ-τ')/p pτ'/p p,/p p(2.49)/p pгде τ вторая из интегральных показательных функций, определяемых равенством/p p/p p sub/sub /p pτ/p p=/p p/p p/p p1/p p/p p sup-τ/sup /p p/p psup/sup/p p./p p(2.50)/p pИнтегральное уравнение Милна рассматривалось многими авторами. Наиболее полное исследование принадлежит Хопфу, который нашёл, что точное решение этого уравнения имеет вид/p p(τ)/p p=/p p3/p p4/p p/p p/p p/p pτ/p p+/p p(τ)/p p/p p/p p(2.51)/p pгде (τ) функция, монотонно изменяющаяся в небольших пределах между/p p(0)/p p=/p p1/p p3/p p=/p p0,58/p pи/p p()/p p=/p p0,71/p p./p pПредставляет интерес сравнение приближённых выражений для (τ), полученных выше при помощи методов Шварцшильда Шустера, Эддингтона и Чандрасекара (в первом приближении), с точной формулой (2.51). Эти приближённые выражения даются соответственно формулами (2.24), (2.33) и (2.40). Мы видим, что наибольшей точностью обладает формула (2.40). Значения функции (τ), найденные по этой формуле при τ=0 и при больших τ, а именно/p p(0)/p p=/p p3/p p4/p p/p p(2.52)/p pи/p p(τ)/p p=/p p3/p p4/p pτ/p pпри/p pτ/p p/p p1/p p,/p p(2.53)/p pсовпадают с точными значениями (τ). Формула (2.33) даёт точные значения функции (τ) лишь при τ1. Значения (τ), полученные по формуле (2.24), отличаются от точных значений как при τ=0, так и при τ1./p /section section xmlns="http://www.gribuser.ru/xml/fictionbook/2.0" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" p strong5. Распределение яркости по диску звезды./strong /p p image xlink:href="#_5.jpg"/ /p pРис. 3/p pЗнание функции (τ) позволяет определить интенсивность излучения на любой оптической глубине. В частности, мы можем найти интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величину (0,θ). Очевидно, что интенсивность излучения, выходящего из фотосферы под углом θ к нормали, представляет собой яркость диска звезды на угловом расстоянии θ от центра диска (рис. 3). Поэтому величиной (0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды./p pЧтобы найти величину (0,θ), надо в формуле (2.42), дающей интенсивность излучения, идущего снизу вверх (т.е. при θπ/2), положить τ=0. Делая это и заменяя переменную интегрирования τ' на τ, находим/p p(0,θ)/p p=/p p/p p/p p0/p p(τ)/p p/p p sup-τsecθ/sup /p psecθ/p pτ/p p./p p(2.54)/p pВыше были получены различные приближённые формулы для функции (τ). Посмотрим,