уравнения (3.20) [или (3.21)] и последующему определению функции Φ(τ) из (3.25) путём обращения преобразования Лапласа. Последняя операция легко выполняется методом контурного интегрирования при использовании соотношения (3.21)./p pЕсли функция Φ(τ) известна, то при помощи формул (3.2) и (3.9) может быть найдена и функция (τ) при любых источниках излучения. В некоторых случаях функция (τ) выражается через Φ(τ) весьма просто. Примером может служить случай, когда источники излучения распределены в среде экспоненциально. Как уже было показано выше, при (τ)=sup-τ/sup функция (τ), обозначенная, нами через (τ,), даётся формулой (3.16)./p pОсобенно простое выражение для функции (τ) получается при равномерном распределении источников излучения в среде, т.е. при (τ)=1. Полагая в формуле (3.16) =0, находим/p p(τ,0)/p p=/p p(0,0)/p p/p p/p p/p p1/p p+/p pτ/p p/p p0/p pΦ(τ')/p pτ'/p p/p p/p p/p p./p p(3.26)/p pВходящая в формулу (3.26) величина (0,0) непосредственно выражается через функцию (). Положим в (3.20) =0 и в (3.21) =0. Тогда из полученных уравнений следует/p p²(0,0)/p p/p p/p p/p p1/p p-/p p2/p p/p p/p p/p p()/p p/p p/p p/p p/p p/p p=/p p1./p p(3.27)/p pПростые формулы для функции (τ) можно также получить при: (τ)=τsup/sup, где целое число./p p strong4. Решение однородного уравнения./strong /p pВыше было показано, что решение неоднородного уравнения (3.1) при любой функции (τ) выражается через функцию Φ(τ). Теперь мы покажем, что через ту же функцию Φ(τ) выражается решение однородного уравнения/p p(τ)/p p=/p p/p p/p p0/p p(|τ-τ'|)/p p(τ')/p pτ'/p p./p p(3.28)/p pС физической точки зрения это уравнение соответствует случаю, когда источники энергии расположены на бесконечно большой глубине./p pПредполагая, что решение уравнения (3.28) существует, продифференцируем его по τ. В результате находим/p p'(τ)/p p=/p p/p p/p p0/p p(|τ-τ'|)/p p'(τ')/p pτ'/p p(0)/p p(τ)/p p./p p(3.29)/p pСравнивая между собой уравнения (3.29) и (3.10), мы видим, что/p p'(τ)/p p=/p p/p p(τ)/p p+/p p(0)/p pΦ(τ)/p p,/p p(3.30)/p pгде некоторая постоянная. Из (3.30) следует/p p(τ)/p p=/p p(0)/p p/p p/p p/p p/p p supτ/sup /p pτ/p p/p p0/p p/p p sup(τ-τ')/sup /p pΦ(τ')/p pτ'/p p/p p/p p/p p./p p(3.31)/p pДля нахождения постоянной рассмотрим уравнение (3.28) при τ=0. Учитывая (3.17), имеем/p p(0)/p p=/p p/p p/p p/p p()/p p/p p/p p/p p0/p p(τ)/p p/p p sup-τ/sup /p pτ/p p./p p(3.32)/p pУмножая (3.30) на sup-τ/sup интегрируя по τ в пределах от 0 до и принимая во внимание (3.14), находим/p p/p p/p p0/p p(τ)/p p/p p sup-τ/sup /p pτ/p p=/p p(0)/p p(0,)/p p-/p p./p p(3.33)/p pПодстановка (3.33) в (3.32) даёт/p p/p p/p p/p p()/p p(0,)/p p-/p p/p p=/p p1,/p p(3.34)/p pили, при учёте (3.21),/p p2/p p/p p/p p/p p()/p p /p p²-²/p p=/p p1./p p(3.35)/p pТаким образом, решение однородного уравнения (3.28) выражается через функцию Φ(τ) формулой (3.31), в которой постоянная определяется уравнением (3.35)./p p strong5. Интенсивность выходящего излучения./strong /p pВспомогательная функция Φ(τ) представляет интерес не только потому, что через неё выражается резольвента интегрального уравнения (3.1). Не менее существенно и то, что интенсивность излучения, выходящего из среды, во многих случаях также непосредственно выражается через ту же функцию./p pМы сейчас рассмотрим некоторые из этих случаев, однако предварительно получим важную общую формулу для интенсивности выходящего из среды излучения./p pРассмотрим излучение, выходящее из полубесконечной среды под углом θ к нормали. Обозначая cosθ=μ, для интенсивности этого излучения имеем/p p(0,μ)/p p=/p p/p p/p p0/p p(τ)/p p/p p sup-τ/μ/sup /p pτ/p pμ/p p./p p(3.36)/p pЗдесь под (τ) понимается решение интегрального уравнения (3.1) при любой функции (τ), т.е. при любых источниках излучения./p pФункция (τ) выражается через (τ) и резольвенту Γ(τ,τ') при помощи формулы (3.2). Подставляя (3.2) в (3.36), получаем/p p(0,μ)/p p=/p p/p p/p p0/p p(τ)/p pτ/p pμ/p p/p p/p p/p p/p p sup-τ/μ/sup /p p+/p p/p p/p p0/p pΓ(τ,τ')/p p/p p sup-τ'/μ/sup /p pτ'/p p/p p/p p/p p./p p(3.37)/p pОтсюда на основании (3.12) следует:/p p(0,μ)/p p=/p p/p
p/p p0/p p(τ)/p p/p p/p p/p p/p pτ,/p p1/p pμ/p p/p p/p p/p pτ/p pμ/p p./p p(3.38)/p pЭто и есть искомая формула для интенсивности излучения. Таким образом, для нахождения функции (0,μ) при любых источниках излучения достаточно знать лишь функцию (τ,), определённую уравнением (3.11)./p pОднако, как уже сказано, во многих частных случаях для определения интенсивности излучения нам должна быть известна только функция (0,). Поскольку эта функция определяется непосредственно из уравнений (3.20) или (3.21), то для нахождения (0,μ) в этих случаях не требуется знания функции Φ(τ)./p pРассмотрим следующие частные случаи расположения источников излучения:/p p1. Пусть функция (τ) убывает с оптической глубиной экспоненциально, т.е./p p(τ)/p p=/p p/p p sup-τ/sup /p p./p p(3.39)/p pВ данном случае, пользуясь формулой (3.19), находим/p p(0,μ)/p p=/p p(0,)(0,1/μ)/p p1+μ/p p./p p(3.40)/p p2. Допустим, что источники излучения расположены в среде равномерно, т.е. (τ)=1. В этом случае, полагая в (3.40) =0, получаем/p p(0,μ)/p p=/p p(0,0)/p p/p p/p p/p p/p p0/p p,/p p1/p pμ/p p/p p/p p/p p./p p(3.41)/p pПодстановка (0,0) из (3.27) в (3.41) даёт/p p(0,μ)/p p=/p p/p p/p p/p p/p p0/p p,/p p1/p pμ/p p/p p/p p/p p/p p/p p/p p1/p p-/p p2/p p/p p/p p/p p()/p p/p p/p p-½/p p/p p/p p./p p(3.42)/p p3. Предположим, что (τ)=τ. На основании формулы (3.38) имеем/p p(0,μ)/p p=/p p/p p/p p0/p pτ/p p/p p/p p/p p/p pτ/p p,/p p1/p pμ/p p/p p/p p/p pτ/p pμ/p p./p p(3.43)/p pДля определения интеграла (3.43) воспользуемся уравнением (3.15). Умножая это уравнение на τ и интегрируя по τ от 0 до , получаем/p p/p p/p p/p p0/p p(τ,)/p pττ/p p=/p p/p p/p p0/p p(τ,)/p pτ/p p+/p p(0,)/p p/p p/p p0/p pΦ(τ)/p pττ/p p./p p(3.44)/p pНо из формул (3.38) и (3.41) следует/p p/p p/p p/p p0/p p(τ,)/p pτ/p p=/p p(0,0)/p p(0,)/p p./p p(3.45)/p pПоэтому вместо (3.44) находим/p p/p p/p p/p p0/p p(τ,)/p pττ/p p=/p p(0,)/p p/p p/p p/p p1/p p/p p(0,0)/p p+/p p/p p/p p0/p pΦ(τ)/p pττ/p p/p p/p p/p p./p p(3.46)/p pДля определения интеграла в правой части соотношения (3.46) умножим это соотношение на () и проинтегрируем от до . Пользуясь формулой (3.22) и уравнением (3.20) при =0, получаем/p p/p p/p p0/p pΦ(τ)/p pττ/p p=/p p²(0,0)/p p/p p/p p/p p()/p p(0,)/p p/p p²/p p./p p(3.47)/p pЗаменяя в (3.46) на 1/μ и подставляя (3.47), окончательно находим/p p(0,μ)/p p=/p p(0,0)/p p/p p/p p/p p/p p0,/p p1/p pμ/p p/p p/p p/p p×/p p×/p p/p p/p p/p pμ/p p+/p p(0,0)/p p/p p/p p/p p()/p p(0,)/p p/p p²/p p/p p/p p/p p./p p(3.48)/p pАналогично, пользуясь формулой (3.38) и уравнением (3.15), можно найти интенсивность излучения (0,μ) и в случае, когда (τ)=τsup/sup при любом целом ./p p4. Будем считать, что источники излучения расположены на бесконечно большой глубине. В этом случае функция (τ), определяемая однородным уравнением (3.28), связана с функцией Φ(τ) соотношением (3.30). Умножая это соотношение на sup-τ/μ/sup и интегрируя по τ от 0 до , находим/p p(0,μ)/p p(1-μ)/p p=/p p(0)/p p/p p/p p/p p1/p p+/p p/p p/p p0/p pΦ(τ)/p p/p p sup-τ/μ/sup /p pτ/p p/p p/p p/p p./p p(3.49)/p pОтсюда, при использовании формулы (3.14), следует:/p p(0,μ)/p p=/p p(0)/p p(0,1/μ)/p p1-μ/p p./p p(3.50)/p pМы видим, что во всех рассмотренных случаях интенсивность излучения (0,μ) выражается через функцию (0,) весьма простыми формулами. В дальнейшем эти формулы будут неоднократно применяться./p p strong6. Применение к звёздным фотосферам./strong /p pПрименим изложенный выше метод к решению задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. Как мы знаем, при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты указанная задача сводится к интегральному уравнению Милна/p p(τ)/p p strong=/strong /p p1/p p2/p p/p p/p p0/p p/p p|τ-τ'|/p p(τ')/p pτ'/p p./p p(3.51)/p pМы видим, что это уравнение является частным случаем однородного уравнения (3.28) при/p p(τ)/p p strong=/strong /p p1/p p2/p pτ/p p=/p p1/p p2/p p/p p/p p1/p p/p p sup-τ/sup /p p/p p/p p,/p p(3.52)/p pт.е. при ()=½, =1 и =./p pПрименение