§ 2. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты
1. Основные уравнения.
Первоначально в теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты, ведущее к существенному упрощению теории. В дальнейшем, однако, было установлено, что это предположение является весьма грубым. Тем не менее теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты, продолжает сохранять своё значение, так как она может рассматриваться как первое приближение к более строгой теории.
Считая, что коэффициент поглощения не зависит от частоты (т.е. αν=α), вместо уравнения переноса излучения (1.24) и уравнения лучистого равновесия (1.17) получаем
cosθ
ν
=-
α
ν
ν
+
ε
ν
,
(2.1)
4π
0
ε
ν
ν
=
α
ω
0
ν
ν
.
(2.2)
Введём обозначения
0
ν
ν
=
,
0
ε
ν
ν
=
ε.
(2.3)
Величину можно назвать полной интенсивностью излучения, а величину ε полным коэффициентом излучения.
Проинтегрировав уравнение (2.1) по всем частотам, находим
cosθ
=-
α
+
ε
,
(2.4)
а уравнение (2.2) переписывается в виде
4πε
=
α
ω
.
(2.5)
При исследовании переноса излучения в любой среде целесообразно переходить от геометрических расстояний к оптическим расстояниям. В данном случае удобно ввести оптическую глубину τ, определяемую формулой
τ
=
α
(2.6)
Положим также
ε
=
α
.
(2.7)
Тогда уравнения (2.4) и (2.5) принимают вид
cosθ
τ
=
-
,
=
ω
4π
.
(2.8)
Таким образом, мы получили два уравнения для определения двух неизвестных функций и .
В системе уравнений (2.8) величина является функцией от τ и θ, а величина функцией от τ. Учитывая, что ω=sinθ θ φ, и производя интегрирование по φ в пределах от 0 до 2π, вместо (2.8) получаем
cosθ
(τ,θ)
τ
=
(τ,θ)
-
(τ)
,
(τ)
=
½
π
0
(τ,θ)
sinθ
θ
.
(2.9)
К системе уравнений (2.9) необходимо добавить ещё граничное условие. Оно выражает тот факт, что нет излучения, падающего на звезду извне, т.е.
(0,θ)
=
0
при
θ
>
π
2
.
(2.10)
Кроме того, для получения вполне определённого решения системы уравнений (2.9) при граничном условии (2.10) следует задать ещё полный поток излучения в фотосфере, равный
=
4π²
,
(2.11)
где светимость звезды (т.е. полное количество энергии, излучаемое звездой за 1 с) и радиус звезды.
Системы уравнений типа (2.9) весьма часто встречаются в астрофизике. С такими же уравнениями приходится иметь дело и в геофизике (при изучении рассеяния света в земной атмосфере и в водных бассейнах). К аналогичным уравнениям приводят и некоторые проблемы физики (например, проблема диффузии нейтронов). Поэтому системы уравнений типа (2.9) были предметом многочисленных исследований и для их решения предложен ряд методов (см. [4] и [5]).
Ниже излагаются некоторые из этих методов, представляющих наибольший интерес для астрофизики.
2. Приближённое решение уравнений.
Для решения системы уравнений (2.9) были предложены приближённые методы, основанные на усреднении интенсивности излучения по направлениям. Первый из этих методов принадлежит Шварцшильду и Шустеру, второй Эддингтону. Мы сейчас решим систему уравнений (2.9) при помощи каждого из указанных методов.
Метод Шварцшильда Шустера. Обозначим через (τ) среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через (τ) среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз. Эти величины равны
(τ)
=
π/2
0
(τ,θ)
sinθ
θ
,
(τ)
=
π
π/2
(τ,θ)
sinθ
θ
.
(2.12)
Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ θ и интегрируя в пределах от 0 до π/2, получаем
τ
π/2
0
(τ,θ)
cosθ
sinθ
θ
=
(τ)
-
(τ)
.
(2.13)
Интеграл в левой части этого уравнения приближённо представим в виде
π/2
0
(τ,θ)
cosθ
sinθ
θ
=
½
(τ)
,
(2.14)
т.е. вынесем за знак интеграла среднее значение cosθ в верхней полусфере, равное ½. Тогда вместо (2.13) будем иметь
1
2
(τ)
τ
=
(τ)
-
(τ)
.
(2.15)
Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ θ и интегрируя в пределах от π/2 до π, аналогично находим
-
1
2
(τ)
τ
=
(τ)
-
(τ)
.
(2.16)
Второе из уравнений (2.9) при помощи величин (τ) и (τ) переписывается так:
(τ)
=
½[
(τ)
+
(τ)
]
(2.17)
Таким образом, от системы уравнений (2.9) мы приближённо перешли к системе уравнений (2.15)(2.17), которая решается весьма просто.
Складывая почленно уравнения (2.15) и (2.16) и пользуясь (2.17), находим
(τ)
-
(τ)
=
,
(2.18)
где произвольная постоянная. Вычитая (2.16) из (2.15) и учитывая (2.18), получаем
(τ)
+
(τ)
=
2τ
+
,
(2.19)
где новая постоянная.
Для определения постоянных и обратимся прежде всего к граничному условию (2.10). В данном случае оно означает, что (0)=0. Находя из (2.18) и (2.19) величину (0) и пользуясь этим условием, имеем
=
.
(2.20)
Что касается постоянной , то она выражается через полный поток излучения , который постоянен в фотосфере и даётся формулой (2.11). По определению, полный поток излучения равен
=
2π
π
0
(τ,θ)
cosθ
sinθ
θ
.
(2.21)
В принятом приближении
=2π
1
2
π/2
0
(τ,θ)
sinθ
θ
-
1
2
π
π/2
(τ,θ)
sinθ
θ
=
=
π[
(τ)
-
(τ)
].
(2.22)
Сравнивая (2.22) с (2.18), получаем
=
π
.
(2.23)
Подстановка (2.19) и (2.20) в (2.17) даёт одну из искомых функций:
(τ)
=
τ
+
1
2
.
(2.24)
Другая искомая функция (τ,θ) легко выражается через (τ) при помощи первого из уравнений (2.9).