изложенного метода должно начинаться с составления уравнения для определения функции (0,). Для упрощения записи обозначим =1/μ, (0,)=φ(μ). Тогда уравнение (3.20) для данного случая принимает вид/p pφ(μ)/p p=/p p1/p p+/p pμ/p p2/p pφ(μ)/p p1/p p/p p0/p pφ(μ')/p pμ+μ'/p pμ'/p p./p p(3.53)/p pУравнение (3.53) было впервые получено В. А. Амбарцумяном другим способом. Путём численного решения этого уравнения были составлены подробные таблицы функции φ(μ). Эта функция монотонно возрастает от значения φ(0)=1 до значения φ(1)=2.9. Получено также выражение φ(μ) в явном виде * )./p p* ) Подробнее об уравнениях типа (3.53) см. гл. IV./p pЕсли функция φ(μ) известна, то может быть найдена и функция Φ(τ). Для её определения мы имеем уравнение/p p/p p/p p0/p pΦ(τ)/p p/p p sup-τ/sup /p pτ/p p=/p p/p p/p p/p p1/p p-/p p1/p p2/p p1/p p/p p0/p pφ(μ)/p pμ/p p1+μ/p p¹/p p/p p/p p-/p p1,/p p(3.54)/p pвытекающее из (3.25). Обращение преобразования Лапласа даёт/p pΦ(τ)/p p=/p p/p p3/p p+/p p2/p p1/p p/p p0/p psup-τ/μ/supμ/p p/p p/p p (πμ)² +/p p/p p/p p 2 + μ ln/p p1-μ/p p1+μ/p p/p p/p p/p p²/p p μφ(μ)/p p/p p/p p/p p./p p(3.55)/p pЗнание функции Φ(τ) позволяет получить как решение однородного уравнения (3.51), так и решение соответствующего ему неоднородного уравнения. Однако нас сейчас интересует только решение уравнения (3.51). Это решение определяется формулой (3.31)./p pИз уравнения (3.35) следует, что в данном случае =0. Поэтому имеем/p p(τ)/p p=/p p(0)/p p/p p/p p/p p1/p p+/p pτ/p p/p p0/p pΦ(τ')/p pτ'/p p/p p/p p/p p./p p(3.56)/p pФормулой (3.56) и даётся искомое точное решение интегрального уравнения Милна./p pМы можем также получить точный закон распределения яркости по диску звезды. Яркость на угловом расстоянии θ от центра диска даётся формулой (2.54). Полагая в ней cos θ=μ, приходим к формуле (3.36). Выше было показано, что интенсивность излучения (0,μ) при источниках на бесконечности определяется формулой (3.50). Но в данном случае =0 и (0,1/μ)=φ(μ). Поэтому яркость на угловом расстоянии arccos μ от центра диска будет равна/p p(0,μ)/p p=/p p(0)/p pφ(μ)/p p./p p(3.57)/p pДля отношения яркости в центре диска к яркости на краю находим значение φ(1)/φ(0)=2,9, уже упоминавшееся в предыдущем параграфе./p pВходящую в формулы (3.56) и (3.57) величину (0) можно выразить через поток излучения в фотосфере . Мы имеем/p p/p p=/p p2/p p1/p p/p p0/p p(0,μ)/p pμμ/p p=/p p2(0)/p pα/p p,/p p(3.58)/p pгде использовано обозначение/p pα/p p sub/sub /p p1/p p/p p0/p pφ(μ)/p pμ/p p sup/sup /p pμ/p p./p p(3.59)/p pВеличины αsub/sub, представляющие собой моменты функции φ(μ), могут быть найдены из уравнения (3.53). Интегрируя это уравнение по μ в пределах от 0 до 1, получаем/p pα/p p=/p p1/p p+/p p1/p p2/p p1/p p/p p0/p p1/p p/p p0/p pφ(μ)/p pφ(μ')/p pμ/p pμ+μ'/p pμ/p pμ'/p p=/p p=/p p1/p p+/p p1/p p2/p pα/p p2/p p0/p p-/p p1/p p2/p p1/p p/p p0/p p1/p p/p p0/p pφ(μ)/p pφ(μ')/p pμ/p pμ+μ'/p pμ/p pμ'/p p=/p p=/p p2/p p+/p p1/p p2/p pα/p p2/p p0/p p-/p pα/p p,/p p(3.60)/p pоткуда следует, что/p pα/p p=/p p2./p p(3.61)/p pУмножая (3.53) на μ²μ и интегрируя в пределах от 0 до 1, аналогично находим/p pα/p p=/p p2/p p3/p p./p p(3.62)/p pПодстановка (3.62) в (3.58) даёт/p p/p p=/p p4/p p3/p p(0)/p p./p p(3.63)/p pЭта формула, выражающая точную зависимость между величинами и (0), уже приводилась в предыдущем параграфе./p pПодставляя (3.63) в (3.56), находим/p p(τ)/p p=/p p3/p p4/p p/p p/p p/p p/p p1/p p+/p pτ/p p/p p0/p pΦ(τ')/p pτ'/p p/p p/p p/p p./p p(3.64)/p pСравнение (3.64) с (2.51) даёт/p p(τ)/p p=/p p1/p p3/p p/p p/p p/p p1/p p+/p pτ/p p/p p0/p pΦ(τ')/p pτ'/p p/p p/p p/p p-/p pτ./p p(3.65)/p pЕсли мы подставим в (3.65) выражение (3.55), то придём к формуле, позволяющей вычислить функцию (τ) по известным значениям функции φ(μ)./p p strong§ 4. Локальное термодинамическое равновесие/strong /p p strong1. Поле излучения при термодинамическом равновесии./strong /p pКак увидим дальше, в теории фотосфер широко используются формулы, описывающие состояние термодинамического равновесия. Поэтому мы должны
привести некоторые из этих формул. Особый интерес представляет для нас вопрос о поле излучения при термодинамическом равновесии./p pКак известно, термодинамическое равновесие осуществляется в полости, стенки которой нагреты до некоторой постоянной температуры . Состояние термодинамического равновесия характеризуется тем, что каждый процесс уравновешивается противоположным ему процессом (в этом состоит «принцип детального равновесия»)./p pОтсюда, в частности, следует, что интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит ни от места, ни от направления. Если бы это было не так, то совершался бы переход энергии из одного места в другое в некоторых направлениях./p pОчевидно также, что интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от индивидуальных свойств полости. Для уяснения этого достаточно допустить, что имеются две полости с одинаковыми температурами, но с разными значениями интенсивности излучения частоты ν. Тогда при соединении этих полостей начался бы переход энергии из одной полости в другую, в противоречии со вторым началом термодинамики./p pТаким образом, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии зависит только от частоты и температуры. Мы обозначим эту интенсивность через subν/sub()./p pПрименим к рассматриваемому случаю уравнение переноса излучения (1.11). Так как в данном случае subν/sub/=0, то из (1.11) следует/p pεsubν/sub/p pαsubν/sub/p p=/p p/p p subν/sub /p p()/p p./p p(4.1)/p pФормулой (4.1) выражается закон Кирхгофа: при термодинамическом равновесии отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения равно интенсивности излучения, являющейся универсальной функцией от частоты и температуры./p pВыражение для интенсивности излучения при термодинамическом равновесии впервые было найдено Планком. Формула Планка имеет вид/p p/p p subν/sub /p p()/p p=/p p2ν³/p p²/p p1/p pexp(ν/())-1/p p,/p p(4.2)/p pгде постоянная Планка и постоянная Больцмана./p pКак уже сказано, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от направления, т.е. излучение является изотропным. В этом случае, как следует из формулы (1.3), плотность излучения равна/p pρ/p p subν/sub /p p()/p p=/p p4π/p p/p p/p p subν/sub /p p()/p p./p p(4.3)/p pПоэтому при термодинамическом равновесии для плотности излучения ρsubν/sub() получаем/p pρ/p p subν/sub /p p()/p p=/p p8πν³/p p³/p p1/p pexp(ν/())-1/p p./p p(4.4)/p pПоток излучения при термодинамическом излучении, очевидно, равен нулю. Однако поток излучения, выходящего из упомянутой полости через малое отверстие, отличен от нуля. Для нахождения этого потока надо воспользоваться формулой (1.4) и принять во внимание, что интенсивность выходящего из полости излучения не зависит от направления, а излучение, входящее в полость, отсутствует. В результате для потока излучения subν/sub() в этом случае получаем/p p/p p subν/sub /p p()/p p=/p pπ/p p subν/sub /p p()/p p./p p(4.5)/p pЗаметим, что если излучение попадает в полость через малое отверстие, то оно в ней практически полностью поглощается. Можно сказать, что в этом случае мы имеем дело с абсолютно чёрным телом. Поэтому величина subν/sub() называется часто интенсивностью излучения абсолютно чёрного тела./p pПроинтегрировав выражение (4.4) по всем частотам, мы получаем полную плотность излучения при термодинамическом равновесии:/p pρ()/p p=/p p/p p/p p0/p pρ/p p subν/sub /p p()/p pν/p p=/p p8π/p p³/p p/p p/p p0/p pν³ν/p pexp(ν/())-1/p p,/p p(4.6)/p pили/p pρ()/p p=/p p/p p,/p p(4.7)/p pгде/p p/p p=/p p8π/p p15³³/p p./p p(4.8)/p pФормула (4.7) выражает закон Стефана Больцмана. Величина называется постоянной Стефана./p pИнтегрируя по всем частотам выражение (4.2), находим полную интенсивность излучения абсолютно чёрного тела/p p()/p p=/p p/p p4π/p p/p p./p p(4.9)/p pИз (4.5) и (4.9) следует, что полный поток излучения, выходящего из абсолютно чёрного тела, равен/p p()/p p=/p pσ/p p,/p p(4.10)/p pгде/p pσ/p p=/p p/p p4/p p./p p(4.11)/p p strong2. Предположение о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы./strong /p pПоле излучения в фотосфере сильно отличается от поля излучения при термодинамическом равновесии. Это видно уже из того, что интенсивность излучения в фотосфере зависит от глубины и от направления. Поэтому не может