Всего за 199 руб. Купить полную версию
рассчитываемой как взвешенная сумма процентных ставок каждого периода. Эту ставку можно использовать как единый эквивалент для расчета наращенной суммы:
S = P (1 + iэфф n).
Теперь перейдем к аналогичному расчету с использованием методики сложных процентов. По истечении первого периода n
1
.
Поскольку сложные проценты начисляются на капитализированную сумму, после второго периода n
2
После k-ого периода nk найдем требуемую наращенную сумму:
Из полученной формулы можно сделать следующие выводы, аналогичные тем, что были сделаны ранее для простых процентов: размер наращенной суммы не зависит от порядка чередования периодов с различными процентными ставками. Кроме того, если в два или более периода имело место одна и та же процентная ставка, то для целей расчета наращенной суммы их можно объединить в один, длительность которого равна сумме длительностей исходных промежутков.
Аналогично предыдущему можно ввести понятие эффективной ставки сложных процентов (см. подробнее об этом ниже):
Здесь νr = nr / n – доля промежутка nr в полном сроке рассматриваемого кредита. Получается, что для случая с переменной процентной ставкой можно ввести понятие эффективной процентной ставки сложных процентов, рассчитываемой как взвешенное произведение процентных ставок каждого периода, и которую можно использовать как единый эквивалент для расчета наращенной суммы:
S = P (1 + iэфф)n .
Сложные проценты с начислением чаще, чем раз в год
Во всех рассуждениях ранее при использовании сложных процентов предполагалось, что они начисляются один раз в год. Однако на практике встречаются случаи, когда начисление происходит чаще. Пусть оно происходит m раз в год, где m – натуральное число. Например, начисление может происходить ежемесячно (m = 12).
Для сложных процентов с начислением один раз в год была получена формула:
S = P (1 + i)n .
Теперь мысленно предположим, что в рассуждениях, из которых была выведена эта формула, период времени «год» будет заменен на период времени «1/m года» или «m-ая доля года». Поскольку все рассуждения останутся в силе, получим формулу:
где if – процентная ставка за «m-ую часть года», nf – срок, отраженный в «m-ых частях года» (а не в годах, как ранее). Для того, чтобы вернуться к используемым ранее обозначениям выразим if и nf через годовые переменные:
if = i / m, nf = mn.
Последнее соотношение легко интерпретируемо: при сроке n лет количество периодов размером «1/m года» равно mn.
Тогда с использованием годовой процентной ставки итоговую формулу расчета наращенной суммы с использованием сложных процентов с начислением m раз в год можно записать как:
S = P (1 + i / m)mn .
Поскольку, как было выяснено, формула сложных процентов с начислением m раз в год верна и для нецелого числа лет n, то и полученная формула верна для нецелого n. Более того, можно показать, что она остается верной и для нецелого m.
Отметим, что всегда предполагается, что сложные проценты начисляются один раз в год, если не указано противное.
Дня того, чтобы продемонстрировать зависимость наращенной суммы от количества начислений m раз в год, сведем в Таблицы 2 и 3 результаты расчетов при Р = 100 руб. и ставке i = 10% в Таблице 2 и ставке i = 25% в Таблице 3.
Дискретное и непрерывное начисление процентов
Зададимся вопросом: как изменится формула начисления процентов, если увеличивать количество m начислений процентов в год.
Например, сначала предполагать, что m = 12, затем 24, 365 (ежедневное начисление), 365*24 (ежечасное) и др. При m, стремящемся к бесконечности, получим непрерывные проценты (проценты с непрерывным начислением):
Сделаем замену z = m / i.
Вспомним, что замечательный предел внутри скобок равен e. Тогда:
S = Peni.
Обычно годовую ставку начисления непрерывных процентов обозначают δ. Итоговая формула непрерывных процентов выглядит как:
Примечания
1
Лондонская межбанковская ставка предложения (англ. London Interbank Offered Rate, LIBOR) – средневзвешенная процентная ставка по межбанковским кредитам, предоставляемым банками, выступающими на лондонском межбанковском рынке с предложением средств в разных валютах и на разные сроки – от одного дня до 12 месяцев. Ставка фиксируется Британской Банковской Ассоциацией, начиная с 1985 года ежедневно в 11:00 по западноевропейскому времени на основании данных, предоставляемых избранными банками.