Тетрадные или четырехполюсные числа – это числа, которые остается неизменными при отражении относительно горизонтальной или вертикальной оси симметрии, а также при центральной симметрии. Единственными цифрами, которые остаются теми же, если перевернуты вверх-вниз или зеркально отражены, являются 0, 1 и 8, поэтому тетрадное число-это палиндромическое число, содержащее только 0, 1 и 8 в качестве цифр. Первые несколько тетрадных чисел: 1, 8, 11, 88, 101, 111, 181, 808, 818, … . Четырехсторонняя симметрия объясняет название, поскольку tetra – это греческое число четыре. Тетрадные числа являются одновременно стробограммными и палинромическими. Более крупное тетрадное число всегда может быть сгенерировано путем добавления другого тетрадного числа к каждому концу исходного числа, сохраняя симметрию.
Наименования подмножеств натуральных чисел выражаются не только прилагательными, но и именами собственными. В дальнейшем имена собственные будет встречаться чаще.
Числа Цукермана - такие натуральные числа, которые делятся на произведение своих цифр. В честь какого Цукермана названы эти числа мне не удалось выяснить. Фамилия довольно распространенная и в русской интерпретации превращается в фамилию Сахаров. Определение этих чисел приведено в книге James J. Tattersall «Elementary Number Theory in Nine Chapters» издательства Кэмбриджского университета, 1999 года. Например, 135 – число Цукермана, так как 1+3+5=9; 135/9=15. Все целые числа от 1 до 9 являются числами Цукермана. Все числа, включающие ноль, не являются числами Цукермана, так как произведение их цифр равно нулю, а деление на ноль невыполнимо. Первые несколько чисел Цукермана, состоящие более чем из одной цифры: 11, 12, 15, 24, 36, 111, 112, 115, 128, 132, 135, 144, 175, 212, 216, 224, 312, 315, 384 … .
Числа Цукермана не могут содержать более чем восемь различных цифр, так как цифра 5 не может совмещаться ни с одной четной цифрой. Произведение четной цифры и 5 даст число, кратное 10, а исходное число не содержит цифры 0, следовательно, не может делиться на 10. Наименьшее число Цукермана, содержащие восемь различных цифр – это 1196342784. В свою очередь числа Цукермана это подмножество обнаженных чисел (извините, но есть и такие).
Натуральное число называют обнаженным, если оно делится на каждую из своих цифр в отдельности (которые должны быть ненулевыми). Например, 48=4·12=8·6, 672=6·112=7·96=2·336. Введение этого термина объясняют тем, что такие числа раскрывают (обнажают) свои сокровенные тайны. В первом миллионе натуральных чисел содержится 9039 обнаженных чисел. Всего таких чисел бесконечно много, так как любое моноцифровое число является обнаженным.
Первые обнаженные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99, 111, 112, 115, 122, 124, 126, 128, … . Насколько мне удалось выяснить, этот странный термин ввел некий У. Катагири. Фамилия, распространенная в Японии настолько, что установить, кто он такой не удалось.
Полет фантазии
Процесс отыскания и наименования новых классов чисел среди чисел натуральных, кроме уже рассмотренных, шел сотни лет. Придумано так много разного, что издание с кратким описанием всего открытого и названного должно быть многотомным. Можно только на свой вкус отобрать конечное множество разнообразных определений чисел, и в какой-то момент сказать себе стоп! Попробуем так и сделать.
***
Бесквадратным, или свободным от квадратов, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 – свободное от квадратов, а 18 – нет, так как 18 делится на 9=3
2
Натуральное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда в разложении этого числа на простые множители ни одно простое число не встречается больше одного раза, то есть все простые множители входят в разложение числа только в первой степени.
***
Гладким числом называется натуральное число, все простые делители которого малы. Поскольку понятие «делители малы» может быть истолковано произвольно, чаще всего гладким числом называют такое, чьи простые делители не превосходят 10 (то есть, фактически равны 2, 3, 5 или 7).
Натуральное число называется M-гладким, если все его простые делители не превосходят M. Исходя из этого определения, можно говорить о 3-гладких, 5-гладких, 7-гладких и т. д. числах. Например, к 3-гладким числам относятся: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, ….Все они в разложении на простые множители имеют только два простых числа 2 и 3 в различных степенях. Число 5000 имеет следующее разложение на множители: 2
3
4
гладкого***
Полнократное число – натуральное число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя. Эквивалентное определение: число, представимое в виде a
2
b3
abИз определения следует, что квадраты чисел и кубы чисел являются полнократными числами, так как вторым числом в определении может быть единица. Два наименьших последовательных полнократных числа – это 8 и 9. Согласно гипотезе Эрдёша, не существует трёх последовательных полнократных чисел. В связи с понятием полнократных чисел стали рассматривать разложение чисел не только в сумму и произведение других чисел, но ввели в рассмотрение разложение чисел в виде разности двух полнократных чисел. Именно введение разности в рассмотрение – главное значение этого класса чисел. Ведь до сих пор упоминалось сложение, умножение, деление, а о разности даже не заикались. Любое нечетное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов: (k+1)
2
k2
k2
kk2
kk2
k2
k2
kk2
k3
2
2
3
2
***
Натуральное число называется необычным, если в его разложении на простые множители самый большой простой множитель строго больше квадратного корня из числа n. Как тяжело писать, когда нельзя употреблять ни редактор формул, ни встроенные символы и приходится использовать только то, что есть на клавиатуре. Вместо одного значка пишешь четыре слова. В определении приходится выходить из множества натуральных чисел и опираться на числа иррациональные, но для полноты охвата прилагательных, применимых к натуральным числам, не хотелось выбрасывать это определение. Все простые числа необычны. Для любого простого p все его кратные меньше p
2
***
Сфеническое натуральное число (от др.-греч. сфена – клин) – число, равное произведению трёх различных простых чисел (так, например, 30=2·3·5; соответственно, число 30 является первым сфеническим). Количество делителей произвольного сфенического числа всегда равно 8. Например, если n=pqr, где p, q и r – разные простые числа, то делителями n будут: 1, p, q, r, pr, qr, pq, pqr Так первое сфеническое число 30 имеет делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30. Сфенические числа образуют последовательность: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, … . Примером двух последовательных сфенических чисел являются 230 (230=2·5·23) и 231 (231=3·7·11). Примером трёх последовательных сфенических чисел являются 1309 (1309=7·11·17), 1310 (1310=2·5·131) и 1311 (1311=3·19·23). Более чем трёх последовательных сфенических чисел быть не может, поскольку каждое четвёртое натуральное число будет делиться на 4.
***
Радостное число определяется следующим процессом: взяв некоторое натуральное число, замените число суммой квадратов его цифр и повторите процесс до тех пор, пока число либо не будет равно 1 (на чем процесс закончится), либо оно бесконечно крутится в цикле, который не включает 1. Те числа, для которых этот процесс заканчивается в 1, являются радостными числами, а те числа, которые не заканчиваются в 1, будут печальными числами. Происхождение радостных чисел не ясно. Если число радостно, то все члены его последовательности суммирования квадратов цифр радостны; если число печально, все члены последовательности печальны. Например, 19 является радостным, так получается последовательность