– И ты говоришь об этом мне, да еще так просто и спокойно? Я… Ты не боишься, что я убью тебя?
– Я не боюсь мужчин вообще. И только нашего миллионера опасаюсь.
– Почему же?
– Он странный тип. И у него нет слабых мест, которые можно использовать и рычагов, на которые можно надавить.
– Я не дам тебе развод.
– С чего ты взял, что я хочу разводиться?
– Ты сказала минуту назад, что больше не любишь меня и готова к новым отношениям.
– Я никогда тебя не любила, впрочем, как и ты…
– Я любил…
– Нет! Мы поженились потому, что ты посчитал меня выгодной партией. Я презираю браки по расчету. И никогда больше не выйду замуж за деньги и не дам мужчине найти только деньги во мне. Секс – это не отношения. Это просто секс и ничего больше.
– Так мы не разводимся?
– Нет. То есть, разводимся, конечно, но чуть позже. Когда я найду того, кто полюбит меня по-настоящему.
– Да ты…
– В твоем понимании я собираюсь поступить с тобой как стерва и лишь потому, что не дура, и не намерена упускать шанс еще побыть некоторое время счастливой. С тобой я ни дня не была счастлива, Дамокльз. Ты думаешь только о себе: приходим в магазин и покупаем только то, что ты любишь, мои желания не учитываются. Я не умею так жить.
– Ты опять о браслете и машине?
– Да не только об этом! Даже когда мы покупаем еду, выбираешь ты. Аргумент меня просто настораживает: «Я это не ем. Давай покупать только то, что все едят. Но под словом «все» ты подразумеваешь одного себя. Ты махровый эгоист, дорогой, поскольку эгоисты – не те, кто хочет жить, как ему нравится – ты хочешь, чтобы весь мир поступал так и делал то, что решил ты.
– Да ну тебя!
– Действительно, Дамокльз! Да ну меня совсем!
– Ты не зацепишь этого миллионера.
– Может, ты и прав. Но я все равно попытаю счастья.
– Дело в богатстве, да? Он сможет купить тебе целую дюжину браслетов «Пандора?»
– Он нравится мне. Но ты вряд ли поймешь это, ведь чувство привязанности к кому-то, кроме себя, тебе неведомо.
Не дожидаясь ответного оскорбления, она ушла на работу.
В университете Афродита всегда находила способы расслабляться и некоторое время быть счастливой. Чуточку довольной жизнью. У нее и здесь было много поклонников, но с некоторых пор все они поумерили свой пыл, будто поняли, что место отныне занято. Но кем? Афродита все время чувствовала, что за ней наблюдают, и от этого ощущения становилось жутко.
– Тема нашей сегодняшней лекции: «Пределы функций». На практическом занятии мы разберем примеры решений задач, а пока начнем…
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойней другой.
Итак, что же такое предел?
Пример:
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела.
2) Записи под значком предела, в данном случае. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае.
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала, затем,, …,, ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Решаем вышерассмотренный пример. Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью – мой любимый, кстати:
Студенты захихикали, рассматривая на ее тонкой руке изящный браслет со знаком бесконечности.
– Это мой талисман, – она смутилась, поправляя любимое украшение.
– Разбираемся, что такое? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала, потом, потом, затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией?
,,,…
Итак: если, то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.
– И незнакомца в подарок, который преподнес Вам браслет! – пошутил один из симпатичных и высоких парней, некто Ментор.
– Вы что-то об этом знаете? – встрепенулась Афродита.
– Не выдавайте себя так глупо, мадам, – улыбнулся Ментор.
– Мы знаем только то, что Вы нам преподаете. А еще я готов признать тот факт, что Вы прекрасны.
Афродита нахмурилась, приготовившись продолжать объяснение пределов.
– Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
,,,,,,,,,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если, попробуйте построить последовательность,,. Если, то,,.
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом:, то все равно, так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как,, и т. д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!
На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида. Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.