В своё время, в начале 20-го века теории множеств уделялось много внимания в надежде на использование её в качестве надёжного, прочного фундамента математики. Однако в самом начале развития теории множеств в ней были обнаружены логические противоречия (обычно называемые парадоксами). Наиболее простое из них так называемый парадокс Рассела. В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута. Следует заметить, что первый парадокс множеств был замечен ещё самим автором теории множеств, но это не остановило его от продолжения работы над теорией множеств. Кантор, наверное, понимал, что эти парадоксы преодолимы средствами самой теории множеств
5. Последний парадокс теории множеств
С точки зрения теории понятий парадокс Рассела ошибочен. Гильберт считал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключённого третьего. Он писал: «эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». Он предлагал различать «действительные» и «идеальные» предложения классической математики. Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Мы присоединяем идеальные предложения к действительным, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощаетструктуру всей теории.