Рис. 5. Состояние резинки под давлением
То есть дело не в том, что мы не умеем считать, а в том, что математика принципиально не может дать однозначного решения. Наоборот, математика доказывает, что теперь однозначности и быть не может! Более того, если бы мы взяли не резиновый брусочек, а резиновый цилиндрик возможных положений после прогиба мы бы получили не два, а бесконечное количество любое направление по кругу.
Подытожим, в какое состояние система перейдет, попав в критическую точку, математики не могут однозначно посчитать решения становятся неустойчивыми относительно флюктуаций. Это означает, что решения уравнений есть, но их может быть много. И даже бесконечно много. Какое решение реализуется на практике зависит от бесконечно малых отклонений в параметрах, которые возникают только в реальном мире, точнее в микромире, и которые человек и, следовательно, математика не могут знать никогда. Это такие малые движения, такие малые неоднородности материала резинки, которые невозможно ни измерить, ни запланировать, ни учесть заранее. Такие малые отклонения это и есть флюктуации. Чтобы рассчитать точное состояние сложной системы в будущем, требуется на берегу знать огромное множество начальных условий, которые никогда никому не будут известны. И уж кто-кто, а бизнес это точно система с бесконечным количеством неопределенности.
Качественная математика
Итак, похоже, мы у разбитого корыта?
Однако послушаем великих. Кажется, не все так безнадежно!
Математика описания нелинейных эффектов весьма нетривиальна. Но, как сказал один из крупнейших математиков XX века академик В. И. Арнольд (19372010): «С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и численные параметры могут быть недостаточно известными.»
Анри Пуанкаре (18541912), «последний из величайших математиков-универсалов», также говорил, что в деле понимания качественных изменений в поведении систем необходим лишь ограниченный объем информации качественного характера.
Итак, формул не будет. Они бесполезны. Но есть хорошая новость! Оказывается, важно не высчитать точную траекторию изменений, а быть готовым к явлению к критической точке и к качественному переходу, который за этим последует. Собственно, так мы и поступаем утром, когда кипятим воду для чая. Мы ничего не вычисляем и не измеряем, мы просто ждем момента качественного перехода ждем закипания воды. И нам этого оказывается достаточно, чтобы понять момент наступил, можно заваривать чай.
Вернемся к нашей резинке, к нашей ручной бифуркации. Когда мы сжали ее и получили прогиб, можем поиграться с ней дальше, например, попробовать давить на место выпуклости.
Рис. 6. Продольное и поперечное воздействие на упругий объект
Наш «антистресс» при определенном усилии начнет перещелкиваться в противоположную сторону. Если мы нарисуем множество решений уравнения в пространстве параметров: Прогиб/Давление продольное/Давление поперечное, то обнаружим в нем забавную поверхность, похожую на сборку ткани. Эта поверхность в разделе математики под названием Теория катастроф и называется Катастрофа Сборки.
Рис. 7. Поверхность состояния упругого объекта. Выпучивание при продольном сжатии
На этой поверхности решений мы увидим маршрут с выпучиванием при продольном давлении, который мы уже видели на рис. 5. Для этого достаточно рассечь нашу Сборку вертикальной плоскостью, для которой поперечное давление равно нулю.
Область неустойчивости представлена треугольным «язычком», обозначена пунктиром в середине складки, куда система может попасть и какое-то время пробыть в таком состоянии, пока любое бесконечно малое воздействие не выбросит ее в одну из зон устойчивости прогиб в одну или другую сторону.
Мы также можем проследить траекторию состояния объекта под воздействием поперечного давления.