Для того чтобы не запутаться, успокоил Машу папа, можно использовать дерево возможных вариантов. Одолжим на время у мамы пуговицы.
В первый ряд положим 3 пуговицы разного цвета. Мы уже считали, что возможных перестановок для трех элементов равно шести.
Второй ряд, он будет у нас вспомогательным, мы составим следующим образом:
То есть мы добавили пуговицы других цветов? предположила Маша.
Совершенно верно. В третьем ряду мы просто поменяем пуговицы местами. Вот так:
А что мы будем делать с четвёртым рядом? поинтересовалась Маша.
А четвертого ряда не будет, ответил папа. У нас три пуговицы, то есть три элемента множества, значит и рядов будет три. Осталось только, следуя сверху вниз, перечислить все варианты перестановок:
И совсем несложно. Главное быть внимательным.
Как интересно! воскликнула Маша. А если у меня все-таки есть одинаковые игрушки, то количество перестановок считается точно также?
Не совсем, пояснил папа. Если некоторые элементы множества повторяются, то такие перестановки называются перестановками с повторением.
Перестановки с повторением
Пусть у тебя есть два одинаковых медвежонка.
Но у меня нет двух одинаковых медвежонка, возразила Маша.
Хорошо, согласился папа. Тогда возьмем два зеленых карандаша и один красный.
Карандашей всего 3, значит, число перестановок равно 6. Но нет разницы, если поменять зеленые карандаши местами. Мы получим тот же самый вариант. Поэтому число перестановок с повторением будет всего 3:
То есть, предположила Маша, если есть одинаковые элементы, то перестановок будет меньше.
Да. Пусть множество состоит из n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т. д. Всего элементов n1+n2++nk=n. Тогда число перестановок с повторением равно.
Какая сложная формула! воскликнула Маша.
Нисколько, возразил папа. И ты сама сейчас в этом убедишься. Пусть у нас есть карандаши. Два красных, один зеленый и один синий. То есть n1=2, n2=1, n3=1. Всего карандашей n1+n2+n3=2+1+1=4. Следовательно, число перестановок с повторением равно.
Хорошо, согласилась Маша. А если у меня есть карточки с буквами из которых составляют слова? Буквы же в словах могут повторяться.
И сколько ты хочешь взять карточек?
Сейчас, Маша открыла ящик стола и вытащила наружу карточки с буками. Вот. Это у меня ещё с первого класса осталось.
Давай посмотрим, папа разложил на столе карточки. У нас есть три буквы А, две буквы У и две буквы М.
Всего семь, подсказала Маша.
Воспользуемся формулой для перестановок с повторением.. Значит, существует 210 вариантов перестановок.
Так много? удивилась Маша.
Так много, подтвердил папа. А если у нас есть имеются другие наборы элементов, то и число перестановок будет другим.
А можно я теперь попробую сама?
Конечно. А что мы будем считать?
У меня есть цветные скрепки.
Три зеленых, три синих, три желтых и две красных. Всего 11 скрепок. Значит, число перестановок будет равно.
Вот так число! Это сколько же времени уйдет на то, чтобы переложить все скрепки?
Перекладывать скрепки мы не будем, возразил папа. А ты мы на это дело потратим все выходные. А тебе еще уроки учить нужно. Да и у меня есть дела.
Ну, папа! заныла Маша. Давай еще что-нибудь посчитаем!
В другой раз, ответил папа. Тем более что в комбинаторике изучаются не только перестановки. А это тебе задачки для самостоятельного решения: