Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.
Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.
Например, разделим 6x3 +2x2 x +12 на 3x2 2x +6
Запись деления:
1.Делим первый член делимого 6x3на первый член делителя 3x2. Результат 2x первый член частного.
2.Умножаем полученный член на делитель 3x2 2x +6, результат 6x3 4x2 +12x записываем под делимым.
3.Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого, получаем 6x2 13x +12
4. Первый член остатка 6x2 делим на первый член делимого, результат 2 есть второй член частного.
5. Множим полученный второй член частного на делитель, результат 6x2 4x +12 подписываем под первым остатком.
6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка, получаем второй остаток: -9x. Его степень меньше степени делителя. Деление закончено.
.
Целая часть: 2x +2
Остаток: 9x
Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.
Целая часть: 3t2 7t +5
Остаток: 34t 37
Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена xm±am на x±a.
1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. xm-am делится на x-a
Примеры.
(x2-a2): (x-a) =x+a
(x3-a3): (x-a) =x2+ax+a2
(x4-a4): (x-a) =x3-ax2+a2x+a3
(x5-a5): (x-a) =x4-ax3+a2x2+a3x+a4
2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. xm-am при чётном m делится на x+a
Примеры.
(x2-a2): (x+a) =x-a
(x4-a4): (x+a) =x3-ax2+a2x-a3
(x6-a6): (x+a) =x5-ax4+a2x3-a3x2+a4x-a5
2a. Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.
Например, ни x3-a3, ни x5-a5 не делятся на x+a.
2б. Так как разность чётных степеней делится на x-a и на x+a, то она делится и на x2-a2.
Примеры.
(x4-a4): (x2-a2) =x2+a2
(x6-a6): (x2-a2) =x4+a2x2+a4
(x8-a8): (x2-a2) =x6+a2x4+a4x2+a6
3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.
Например, ни x2+a2, ни x3+a3 не делятся на x-a.
4. Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел.
Примеры.
(x3+a3): (x+a) =x2-ax+a2
(x5+a5): (x+a) =x4-ax3+a2x2-a3x+a4
4а. Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся ни на разность, ни на сумму этих чисел.
Например, x6+a6 не делится ни на x-a, ни на x+a.
Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.
Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.
Возведение в степень n двучлена a+b.
(a+b) n=an+k1×an-1×b+k2×an-2×b2++bn (эта формула называется биномом Ньютона).
Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.