c) Vet aquí un primer intent de formalització del que sha dit fins ara.
1. Designem per P el conjunt {p1, , pn} els elements del qual representen les premisses, i per C(P) el conjunt els elements del qual representen totes les conjectures que es poden obtenir; és a dir, si q és a C(P) és que q és una conjectura de P, o sigui que no és «Si p, aleshores no p (q)». Per tant,
C(P) = {q; no és «Si p, aleshores q»},
amb p lenunciat «p1 i p2 i pn», conjunció de totes les premisses, del qual suposem que no verifica «Si p, aleshores p» i tampoc «Si p, aleshores no p». Com sha dit, p és el resum de la informació prèvia o de partida i les dues condicions anteriors indiquen que el resum no es contradictori amb ell mateix.
2. Convé dir quelcom respecte dels enunciats condicionals, o regles, del tipus «Si/aleshores», o «Si antecedent, aleshores conseqüent». Aquests enunciats no sempre es poden entendre de la mateixa manera, la qual depèn, realment, del seu significat. Els entendrem com a enunciats relacionals, és a dir, que relacionen lantecedent amb el conseqüent i, encara que ho farem més endavant, ara no els entendrem com a operacions que donarien un resultat de lestil de: «Si p, aleshores q» és equivalent a un determinat enunciat, per exemple, «no p o q».
Els enunciats condicionals són bàsics en el raonament i als nens els costa de raonar amb ells; «Si p, aleshores q» diu, en primer lloc, que lenunciat q vindrà, en tot cas, després del p i que llur coneixement depèn del de p; diu que q està condicionat per p. Per això els representarem pel simbolisme relacional p q. Entendre bé els enunciats condicionals és una mostra de maduresa intel·lectual.
De fet, una forma força general dentendre un condicional és a partir dafirmar, com a equivalent, lexpressió:
(p i q) o (p i q) o (p i q),
que està composta denunciats incompatibles dos a dos i que, en determinades condicions, se simplifica considerablement. Per exemple, hi ha cops que sha dafirmar com a (p i q), daltres com a (p o (p i q)), i fins i tot com (p o q). Per exemple, lenunciat «Si plou, surto de casa amb capell», sentén perfectament bé com lafirmació «No plou, o plou i surto de casa amb capell», i també com «Plou i surto de casa amb capell», però més rarament com «No plou o surto de casa amb capell» que sembla indicar que només surto amb capell si plou. En canvi, lenunciat «Si n és un nombre parell, aleshores n és divisible per 2», sentén bé com lafirmació de «n no és parell, o n és divisible per 2» (*), car a lexpressió completa
(n és parell i és divisible per 2) o (n no és parell i és divisible per 2) o (n no es parell i no és divisible per 2),
és obvi que el segon parèntesi no es pot afirmar i queda, per tant, reduïda a lexpressió composta pel primer i el tercer parèntesi que, fàcilment, es veu que equival a la (*).
3.
QUELCOM MÉS SOBRE LA FORMALITZACIÓ MATEMÀTICA
Si simbolitzem la conjunció i pel signe. (punt), aleshores es pot simbolitzar la conjunció p de les premisses per p1. p2 . pn i, com ja sha dit, per p q lenunciat condicional «Si p, aleshores q». Que no valgui lenunciat «Si p, aleshores no q» (per exemple, «Si n = 12, aleshores n no és divisible per 3) es representarà per p q i, per tant, simbòlicament es pot escriure
C(P) = {q; p q},
com una representació simbòlica del conjunt de les conjectures de P = {p1, , pn}.
Amb això es pot provar matemàticament, amb certes condicions imposades a loperació binària., a la relació i a loperació unària , que el conjunt
Cons(P) = {q; p q}
pot ésser identificat amb el de les conseqüències febles de P , car verifica les propietats abans enunciades com a característiques de la deducció feble. Per exemple, dacceptar com sha dit que p p1, p p2, , p pn, aleshores P està contingut a Cons(P):
P Cons(P),
on el símbol es llegeix com a «contingut a».
Daltra banda, no poden alhora valer p q i p q, car la segona relació, sota propietats usualment acceptades de la negació (q q i si p q, aleshores q p), i de p q i q r segueix p r (llei transitiva de la relació), implica q q p, amb la qual cosa de p q i q p resultaria p p, que és absurd per hipòtesi. Per tant, Cons(P) és coherent, automàticament és Cons(P) C(P) i, per tant, és P Cons(P) C(P). Les conseqüències febles són un tipus particular de conjectures.
Finalment, P Q Cons(P) Cons(Q), és a dir, C és un operador monotònic. En efecte, com que si és P = {p1, , pn} és Q = {p1, , pn, pn+1, pn+2, , pm}, resulta
q = p1 pn · pn+1 pm p1 pn = p,
amb la qual cosa, si r és a Cons(P), és a dir, p r, també hi és q r. Per tant, el conjunt Cons(P) està contingut tot ell en el conjunt Cons(Q).
Naturalment, que loperador Cons verifiqui les propietats característiques de la deducció feble, només ens diu que Cons retrata «una manera» de fer deduccions febles, però no diu que sigui lúnic operador que ho permet. De fet, nhi ha daltres i només en el cas de fer servir enunciats precisos, loperador Cons és el més gran possible.