Un matemàtic, però, quan raona per tal dimaginar què pot ésser una conclusió dallò del que parteix, ho fa com tothom; de fet, indueix o especula com pot, a partir del que sap, sobre quines poden ésser les possibles conclusions i després, sempre de forma deductiva, li cal refutar-ne unes i provar-ne unes altres. Fins al moment dintentar fer una prova deductiva, el matemàtic ha fet salts inferencials, ha fet un treball artesanal que, fins i tot, pot haver-lo conduït a unes conclusions provisionals després desmentides per la prova.
Cada branca de la ciència té les seves maneres de «provar» les conclusions que formen el seu corpus de coneixement; a les matemàtiques es fa per mitjà de la deducció formal que permet controlar ben finament la seva correcció, diguem-ne interna. Entre altres branques destudi, a les ciències experimentals la confrontació amb la realitat estudiada, el control extern, és fonamental però a qualsevol branca el control, diguem-ne intern, del raonament és essencial; sobretot ho és quan el raonament no es deductiu sinó inductiu, quan es fan «salts» de les premisses a les conclusions i sense saber si realment existeix un camí que hi porti, com passa a la deducció que és, per això, raonament amb «xarxa de seguretat». El que no sobté deductivament no és segur; només és «possible» i cal sotmetre-ho a contrastació per augmentar la confiança en la conjectura obtinguda. Convé saber que moltes de les conclusions que sassoleixen usualment no són sinó provisionals i que resten a lespera de més informació que permeti acceptar-les provisionalment o rebutjar-les. Molt del coneixement comú té data de caducitat, encara que no es conegui quina és.
Mentre la neurociència no pugui aclarir com el pensar autoritza el raonar, com funciona i quins són els seus fonaments neuronals, poc més podem fer que enraonar-ne de la manera més constructiva possible i de la qual els models matemàtics, que permeten delimitar els coneixements que es tenen, en són una part duna seguretat relativa; una seguretat donada, en bona mesura, per la claredat del punt de partida, del punt darribada i del mètode emprat per anar de lun a laltre. Un mètode que, i no és poc, assegura saber quan les afirmacions darribada no poden ser vàlides si el procés seguit per tal darribar-hi no ha estat prou fi.
2. A la parla ordinària es fan servir molts predicats imprecisos; predicats P que, usualment, no es poden definir allà on sapliquen de la manera «si i només si», sinó que només es poden descriure de la manera «x és P si tal i tal». És el cas, per exemple, del predicat P = jove aplicat a una població nombrosa que, en el llenguatge ordinari, no és pas coincident amb el predicat precís «té un màxim de x anys», ja que no parteix la població en dues parts complementàries com fa aquest últim que, en prendre x = 35, la parteix entre els individus amb edat entre 0 i 35 anys, i els dedat més gran de 35 anys. Si sentén el «jove» de la parla usual com «amb un màxim de 35 anys», aleshores caldria preguntar-se per què no prendre 35 anys més o menys uns quants dies. ¿Quina seria la diferencia com a joves de dues persones amb 35 anys i 35 anys i dos dies? Aquesta mena dargumentació es pot aplicar a tots els predicats imprecisos del llenguatge; en fer-los precisos, es canvia el que volen dir. El predicat precís «amb un màxim de 35 anys», és una restricció de limprecís «jove», que té més matisos que no el primer. No és el mateix ésser jove que no tenir més de 35 anys dedat. És un assumpte que es posa clarament de relleu, per exemple, en el pagament dels impostos i lavaluació dels estudiants; els talls que shi fan, de lestil «exactament a partir de tants diners es paga», o «per aprovar cal treure exactament i almenys un 5», són, si més no, injustos.
El fet que la parla ordinària estigui plena de predicats imprecisos, ja fa veure que el raonament ordinari (també nomenat de cada dia o de sentit comú), el que fa tothom contínuament, no és coincident amb el raonament de les proves matemàtiques. Un raonament per provar el teorema de Pitàgores és essencialment diferent, per exemple, del raonament per deixar una bona propina en un restaurant. El primer, fet per qui sigui i com sigui, sempre que es faci correctament arribarà a la conclusió que, en el pla euclidià «un triangle és rectangle si i només si el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets»; el segon arribarà a una conclusió de lestil de «deixo 10 euros» que pot perfectament ésser canviada al dia següent per «deixo 7 euros» en una situació igualment satisfactòria a la del dia anterior, i no és gens fàcil poder assegurar que sigui correcte. La conclusió del teorema de Pitàgores és, nogensmenys, una «caracterització» dels triangles rectangles al pla euclidià; la conclusió arran de quina propina deixar no caracteritza aquesta decisió i, com a molt, pot oferir els criteris a tenir en compte per tal de deixar x euros. En aquest cas no hi ha res semblant al pla euclidià; el context és ben diferent i de difícil formalització. El primer raonament porta de manera reglada a una conclusió final que ja no és revisable però que és controlable pas a pas; pel que fa al segon, no està clar que existeixin regles acceptables per tothom que el puguin dirigir, porta a una conclusió que no només és revisable sinó que és de difícil control, a lextrem que gent diferent arriba, amb criteris iguals o semblants, a conclusions diferents.
El raonament de la prova matemàtica és totalment correcte o no ho és i, si és correcte no és pot revisar bo i que pugui ésser millorable, encara que sempre sarribi a la mateixa conclusió i que pugui servir per imaginar què passa en altres contexts (per exemple, intentar caracteritzar els triangles rectangles en una esfera); en canvi, en el raonament ordinari sempre és pot revisar la conclusió. En el primer cas, hom pot dir que la conclusió és definitiva i en un context donat, universal; en el segon, sempre serà provisional i local. Més informació prèvia pot retallar conclusions i molt sovint o bé no sen té massa daquesta informació, o bé no és completament fiable, o bé és incerta o imprecisa. La gent no fa raonaments purament deductius de lestil del que permet provar el teorema de Pitàgores; no ho fa més enllà dun petitíssim percentatge de cops. El que sí que fa la gent són raonaments en els quals els enllaços entre passos successius, fins i tot amb algun salt, són (només) relativament ben coneguts.
Encara més, hi ha enunciats imprecisos que, a la vida ordinària, són preferibles a enunciats precisos. És el cas, per exemple, de la regla «si la corba és a la vora i la velocitat del cotxe és moderada, aleshores premo el fre suaument», molt més eficient per a la conducció que no una ben precisa i de lestil de «si la corba és a menys de 50 metres i la velocitat del cotxe és de 60 km/h, aleshores aplico al fre una pressió de tants i tants kilograms», que obligaria el conductor a posar latenció en tres conceptes numèrics i que, per tant, seria més perillosa per a la conducció humana.
Tot això mostra prou bé la importància que té analitzar el raonament de sentit comú; la importància de defensar-lo fent-ne un estudi formal que en permeti tant la crítica com lampliació: defensarlo racionalment. No debades és la mena de raonament que la gent fa servir contínuament a la vida ordinària; aquell amb el qual no només pren les decisions diàries sinó també decisions a llarg termini com és casar-se, estudiar una carrera en lloc duna altra, etc. Aquest és el tema al qual està dedicat el text que segueix i que, de vell antuvi, cal declarar que lanomenat raonament deductiu, un concepte que molts confonen amb «raonament a seques», no és sinó un cas particular i molt restringit de raonament; un concepte que, aquí, identificarem amb la conjectura. És més, el raonament deductiu formal exigeix ésser realitzat a través de representacions especials en uns marcs que només faciliten les matemàtiques; és el tipus de raonament de la «prova» matemàtica.