алгебраическое уравнение с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.
Приведём примеры:
ax + b = 0 уравнение первой степени с одной неизвестной;
ax + by + c = 0 уравнение первой степени с двумя неизвестными;
ax2 + bx + c = 0 уравнение второй степени с одной неизвестной;
ax2 + bxy + cy2 + kx + ly + m = 0 уравнение второй степени с двумя неизвестными.
Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!
Наконец, рассмотрим правую часть равенства в определении квадратного уравнения. Она представляет собой конкретное число ноль. А может быть что-нибудь другое?
Если мы хотим видеть квадратное уравнение «в чистом виде», то ничего, кроме нуля, в правой части быть не должно. Но
Рассмотрим уравнение ax2 + bx + c = m, где m число отличное от нуля. Тогда мы, основываясь на равносильности преобразований уравнений3, можем записать
ax2 + bx + c m = 0
ax2 + bx + (c m) = 0
ax2 + bx + c1 = 0.
То есть мы, собственно, получили квадратное уравнение.
Ещё пример:
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + bx + c mx n = 0
ax2 + bx mx + c n = 0
ax2 + (b m)x + (c n) = 0
ax2 + b1 x + c1 = 0.
Таким образом, уравнения двух приведённых выше видов
ax2+ bx + c = m и ax2+ bx + c = mx + n есть смысл назвать сводящимися к квадратным. То есть, если в правой части стоит многочлен с одной (той же, что и в левой части!) неизвестной степени не выше первой, то с помощью соответствующих преобразований квадратное уравнение мы получим без проблем.
Если же в правой части будет стоять многочлен с одной неизвестной второй степени, то квадратное уравнение может и не получиться.
Ситуация первая: ax2 + bx + c =ay2 + by + c.
Как бы ни старались, квадратного уравнения мы не получим. Неизвестных две, и это равенство не входит в множество математических объектов «квадратные уравнения». Вывод: неизвестная правой части должна быть такой же, что и в левой!
Ситуация вторая. Преобразуйте самостоятельно, например, два следующих уравнения:
ax2 + bx + c = kx2 + mx + n
ax2 + bx + c = ax2 + mx + n.
Получилось ли у вас квадратное уравнение в первом случае? А во втором? Как будет называться уравнение, которое сведётся не к квадратному?
Определите условие, при котором уравнение такого вида всё-таки будет сводиться к квадратному4.
Как ещё один пример рассмотрите уравнение
x2 9 = (x 5) (x +7).
Таким образом, наличие второй степени неизвестной в записи уравнения не всегда будет означать, что оно квадратное.
Очевидно, что если в правой части стоит многочлен с одной переменной степени выше второй, то квадратного уравнения мы ни при каких условиях не получим.
Итак, есть квадратные уравнения, а есть уравнения, сводящиеся к квадратным.