ax2 + c = 0 (b = 0, ac 0),
ax2 = 0 (b = c = 0,a 0).
Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!
Тем не менее, это квадратные уравнения, потому что их можно записать так
ax2 + bx +0 = 0,
ax2 +0 · x + c = 0,
ax2 +0 · x +0 = 0.
Так как количество слагаемых левой части уравнений ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0, ax2 = 0 визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным.
Таким образом, отсутствие в записи конкретного уравнения свободного члена или слагаемого с первой степенью неизвестного не даёт нам права сомневаться в том, что уравнение всё-таки квадратное. Однако и наличие их не является веской причиной отнести уравнение к квадратным. Об этом чуть ниже.
Следующим возникает вопрос, а почему, собственно a 0? (Конечно, искушённый читатель знает почему.) Можно ли, например, уравнение вида ax2 + (a 1)x + a = 0 (или в общем виде f (a) x2 + g (a) x + h (a) = 0) называть квадратным?
Давайте похулиганим и поставим в качестве первого коэффициента ноль. Тогда уравнение примет вид bx + c = 0.
Но это же линейное уравнение! Оно имеет свою теорию, свои изюминки.
Пусть будут «мухи отдельно, котлеты отдельно».
Теперь понятно, что требование a 0 необходимо для сохранения в квадратном уравнении второй степени квадрата неизвестного. Вот этот признак будет определяющим!
В дальнейшем, говоря о квадратном уравнении, мы будем помнить, что старший коэффициент не равен нулю, не оговаривая это каждый раз. Договорились?
Тогда уравнение f (a) x2 + g (a) x + h (a) = 0 правильно называть уравнением с параметром второй степени, которое при определённых условиях может быть квадратным, а может им и не быть (стать линейным).
Однако не будем торопиться. Наличие второй степени неизвестного необходимый, но не достаточный признак квадратного уравнения.
Рассмотрим следующие уравнения:
ax2 + by + c = 0 и ax2 + bx3 + c = 0.
Выполним сравнительный анализ этих уравнений с квадратным ax2 + bx + c = 0 по трём признакам:
наличие второй степени неизвестной,
наибольшая степень неизвестной,
количество неизвестных.
Зафиксируем для каждого уравнения эти параметры.
Результаты сравнительного анализа организуем в таблицу.
Итак, что мы имеем?
Наличие второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна.
Именно это и важно!
Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным2.
Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:
алгебраическое уравнение первой степени, второй степени и так далее;
алгебраическое уравнение с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.