Аналитическая теория турбулентности получается на основании системы уравнений Фридмана-Келлера [9,с.13.]. Для применения этих уравнений к реальному течению с конечным числом степеней свободы, требуется выполнить математическую операцию замыкания уравнений, так как неизвестных в уравнениях больше, чем самих этих уравнений.
Полуэмпирическая теория турбулентности, построенная с использованием результатов исследований течений крупномасштабных вихрей [9,с.14] основаны на рассмотрении турбулентности в виде хаосу. Вводятся понятия интенсивности турбулентности, пути перемешивания, коэффициенты турбулентной вязкости, диффузии и теплопроводности. Вводятся гипотезы, отражающие физический процесс. Затем гипотезы проверяют экспериментальным путем, в результате чего для полуэмпирических моделей получают константы.
Модель турбулентности «kε».
Существует модель однородной изотропной турбулентности, но с помощью её нельзя провести описание реального потока [9,с.16]. Существует модель локально изотропной турбулентности. Согласно этой модели турбулентные пульсации для мелких масштабов с большим числом Рейнольдса можно рассматривать как однородные изотропные. Колмогоров ввел гипотезу [9,с.18] о том, что статический режим для мелких масштабов зависит от коэффициента вязкости k и скорости (средней) диссипации энергии ε.
Между масштабом больших вихрей L и масштабом мелких вихрей η, диссипация энергии ε определяет статистический режим турбулентности, так как вязкость влияет только на мелкие масштабы. Масштаб вихрей, на который влияет вязкость получается из этой гипотезы Колмогорова с учетом соображений размерности [9,с.18]:
Прямое численное решение уравнений Навье-Стокса.
При прямом численном уравнений Навье-Стокса, уравнения решаются для несжимаемой жидкости [10,с.311]. Для решения используются граничные периодические условия. То есть учитывается изменение функций при переходе между соседними кубическими элементами сплошной среды, как показано в работе [11,с.14].
При решении уравнений с граничными условиями методом конечных элементов с применением расчетной сетки по 3D-модели, уравнения Навье-Стокса переписываются в разностной форме для узлов сетки.
Возможно решение уравнений численным спектральным методом. По этому методу решение уравнений Навье-Стокса (с учетом граничных условий) аппроксимируется в форме усеченного ряда Фурье [10,с.312].
Конечно-разностный метод расчета сравнивается со спектральным по пяти параметрам [9,с.314]:
скорость сходимости,
эффективность (затраты на расчет для заданной погрешности результата),
граничные условия (точность конечно-разностных методов нарушается около границ за счет необходимости расчёта точек вне области течения, поэтому сетка корректируется вдоль границ и усложняется),
разрывы (сглаживание разрывов при локальных ошибках),
априорная оценка точности (для конечно-разностных методов точность сравнивается на сетках с разным числом конечных элементов).
Важной проблемой является расчет течения около поверхности рабочего колеса (импеллера) или корпуса насоса вследствие тонкого пограничного слоя жидкости. Для решения этой проблемы необходимо подробное рассмотрение течения по стенке, установление его параметров и применение этих параметров для граничных условий к расчету крупного масштаба турбулентного потока [9,с.344].
Аналитические теории турбулентности строятся на статическом подходе к описанию турбулентности [10,с.337]. Динамические параметры в этих теориях являются средними характеристиками течения потока.
Модели переноса турбулентности являются упрощенными моделями турбулентности [10,с.337] с эмпирическими параметрами, получаемыми по результатам эксперимента. Динамика взаимодействия между масштабами турбулентной пульсации рассматривается ограниченно.
Метод прямого численного моделирования DNS (Direct Numerical Simulation)
Многие авторы отмечают о том, что этот метод наиболее требователен к вычислительным ресурсам. Однако, в настоящее время существуют центры с суперкомпьютерами, выполняются параллельные вычисления и используются другие способы для выполнения затратных расчетов. На основании этого, метод DNS может быть внедрен в практику расчета проточной части насосов для получения наиболее точного результата расчета.
По методу DNS решаются уравнения Навье-Стокса напрямую непосредственно без применения моделей турбулентности (например, модели «k-ε») в отличии от других методов расчета.
При решении уравнений Навье-Стокса находят для любой точки в потоке скорость течения и давление. Результатом расчета по методу DNS является нахождение этих параметров потока.
По методу DNS возможно выполнение расчета течения для различных значений числа Рейнольдса.
В программных пакетах уравнения Навье-Стокса, то есть дифференциальные уравнения в частных производных, решаются конечно-разностным методам. Из конечно-разностных методов для решения задач гидродинамики используется метод конечных объемов (МКО).
Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса состоит из замены дифференциальных уравнений с назначенными граничными условиями на алгебраические дискретные уравнения и применение конечно-разностного метода решения.
В конечно-разностном методе, как указывается в работе [12,с.26], производная заменяется на алгебраическое отношение . При стремлении размеров ячейки сетки к нулю конечно-разностное отношение стремиться к производной , т.е. решение стремиться к решению дифференциального уравнения. При этом пределом является предел всего разностного уравнения, а не только его отдельных производных.
Операция дискретизации позволяет получить алгебраические уравнения, которые решаются вычислительными средствами применяемого компьютера.
Флетчер в работе [13,с.73] показал пример дискретизации на примере уравнения теплопроводности
на уравнение
В этом уравнении параметр показывает параметр Т в узле (j, n) сетки.
Таким образом, в каждом из узлов находится значение , проблема нахождения непрерывного решения дифференциального уравнения решается нахождением суммы значений.
Решение должно плавно изменяться в промежутках между узловыми точками элементов сетки. Решение в точках, не совпадающих с узловыми точками сетки, находится интерполяцией решений, полученных для окружающих её узловых точек.
Пример построения расчетной (дискретной) сетки по данным [13,с.74]:
Из указанного выше уравнения можно найти неизвестноепо известным значениям на слое n (временном слое). Такая формула будет являться алгоритмом решения. Полное решение для сетки является суммой решений для всех узлов [13,с.74]:
Процесс дискретизации вносит ошибку. Для окрестности узла, в пределах которой вычисляется производная, ошибка дискретизации находится разложением в ряд Тейлора. Главный член ряда достаточной корректно оценивает ошибку дискретизации при малой величине ΔА (стороне ячейки). Ошибка дискретизации является критерием оценки ошибки решения в зависимости от уменьшения размеров ячеек расчетной сетки.
__
Метод конечных объемов
По методу конечных объемов в пространстве проточной части насоса строится расчетная сетка, структурными элементами которой являются конечные объемы. Трехмерный конечный объем может быть представлен в виде куба, тетраэдра, гексаэдра. В элементе конечного объема уравнения решаются для точки, находящейся геометрическом центре этого элемента. Метод можно назвать «методом частиц в ячейках» [12,с.48].
Метод конечных объемов обеспечивает для исходный дифференциальных уравнений Навье-Стокса выполнение законов сохранения в интегральной форме, то есть обладает свойством консервативности [12,с.51]. Законы сохранения могут быть записаны для различных величин, например, массы, импульса и др.
Скорость накопления величины А в ячейке равна сумме конвективного и диффузионного притока в единицу времени [12,с.52]. По граням смежных ячеек решение интеграла должно быть одинаковым.