Координатные линии выпрямились, перспектива стала глобально линейной. Они стояли как бы на бесконечной плоскости, в компании повторяющихся копий собственных иконок. Треугольники тоже распрямились, и Ятима, изготовив две идентичных копии одного, выполнила маневр с тремя треугольниками, который на манер работающего лопастного вентилятора показывал, как сумма углов постепенно приводится к 180 градусам.
- C топологической точки зрения ничего не изменилось! Я не протыкала поверхность, не сминала ее. Единственное различие состоит в том, что… - Они вернулись в лесную чащобу. Теперь тор преобразовался в короткий толстый цилиндр, причем все синие окружности, означавшие широты, приобрели одинаковые размеры, а меньшие красные кружки меридианов выглядели сплющенными до прямых. - Я повернула каждый меридиан на 90 градусов в четвертом пространственном измерении. Они только выглядят такими плоскими, ведь мы смотрим на них как бы с ребра. - Ятима повторила фокус в нижнепространственном аналогокружении: взяла полоску, протянула ее между парой концентрических колец, закрутила ее на 90 градусов от плоскости, потянув за край, и дополнительное измерение позволило всей полоске обрести одинаковый радиус. Для тора все выглядело так же: каждое колечко широты получило одинаковый радиус, как только появилась возможность растянуть его до недостающей длины в четвертом недостающем пространстве. Ятима обновила цветовую кодировку поверхности тора, раскрасив ее разными оттенками в градиенте от зеленого до коричневого, чтобы выявить вклад скрытого четвертого измерения. Оттенки внутренней и внешней поверхностей квазицилиндра совпадали только на верхнем и нижнем краях, где они состыковывались в четвертом измерении. В остальных местах на каждой стороне оттенки разнились, и это указывало, что поверхности остаются разделенными.
- Превосходно, - прокомментировала Радья. - А как выполнить аналогичное построение для сферы?
Ятима скорчила разочарованную гримаску.
- Я пыталась, честно! Невозможность этого угадывается интуитивно… но ведь так же мне казалось и тогда, для цилиндра, пока я не наткнулась на правильный трюк.
Между делом онона создала сферу и деформировала ее в куб, показав, что нужного результата это не принесло, поскольку в углах граней кривизна получилась сингулярной, а отнюдь не нулевой.
- Хорошо. Вот тебе подсказка. - Радья превратила куб обратно в сферу, потом наметила на ее поверхности три больших круга: один на экваторе, а еще два - на меридианах, отстоявших друг от друга на полных 90 градусов.
- Как я расчертила эту поверхность?
- Вы покрыли ее треугольниками. Правильными треугольниками.
Четыре в северном полушарии, четыре в южном.
- И что бы ты ни вытворяла с поверхностью, как бы ни сплющивала ее, как бы ни вытягивала и скручивала в тысяче измерений, - тебе все равно придется сохранить свойство покрытия поверхности таким вот способом, разве нет? Восемью треугольниками по шести точкам.
Ятима повозилась со сферой, деформировав ее последовательно перетекавшими друг в друга формами.
- Мне кажется, что вы правы. Но что же это дает нам?
Радья отмолчалась. Ятима придала объекту прозрачность, так что стали видны все треугольники одновременно. Они образовывали неплотную сеть, шеститочечную, застегнутую авоську туго натянутых струн. Онона выпрямила все двенадцать линий и тем значительно уплощила треугольники, но и сама сфера изменилась, превратившись в октаэдрический алмаз. Так же происходило и в прошлом построении, когда у негоё получился куб. Каждая грань алмаза обладала идеальной евклидовой топологией, но шесть узловых точек казались неисчерпаемыми резервуарами кривизны.
Онона попыталась сгладить и прижать к плоскости эту шестерку. Это удалось. Но теперь восемь треугольников искривились и приобрели неевеклидову топологию - какая была им присуща и на исходной сфере. Представлялось очевидным, что точки и треугольники нельзя одновременно привести к плоскостному расположению… но Ятима по-прежнему не могла уразуметь, почему две эти цели недостижимы по одному и тому же пути. Емей пришло в голову измерить углы стыковки четырех треугольников, там, где некогда находилась вершина алмаза: 90, 90, 90, 90 градусов. Результат соответствовал ожиданиям: чтобы замостить плоскость безо всяких промежутков, общая сумма углов должна равняться 360 градусам. Онона восстановила непритупленную алмазоподобную конструкцию и снова измерила углы: 60,60, 60, 60 градусов. Сумма углов равнялась 240 градусам, и этого было недостаточно для приведения к плоскости. Если сумма меньше полной окружности, все, что онона натянет на поверхность, будет выпучиваться, подобно конусу…
Вон оно что! Вот в чем загвоздка! Сумма углов между ребрами, сходящимися в каждую вершину, должна равняться 360 градусам, чтобы стало возможно уплощить структуру. Но каждый простой, евклидов треугольник поставляет только 180 градусов. Это вполовину меньше нужного. Итак, если бы треугольников было в точности вдвое больше, чем вершин, все бы складывалось тютелька в тютельку, но, располагая лишь восемью треугольниками для шести вершин, уплощить сферу не удастся.
Ятима торжествующе усмехнулась и изложила свои рассуждения Радье. Та спокойно заметила:
- Отлично. Ты только что переоткрыла теорему Гаусса-Бонне, связав число Эйлера с общей кривизной поверхности.
- Правда? - Ятиму охватила гордость. Эйлер и Гаусс были легендарными копателями прошлого, и хотя плотчики эти давно умерли, с ними и посейчас мало кто мог тягаться.
- Не совсем, - с легкой улыбкой призналась Радья. - Тебе стоило бы поглядеть на конструктивное доказательство: думаю, ты уже созрела для формальных оснований геометрии римановых пространств. Поначалу оно тебе может показаться чрезмерно абстрактным. Не стесняйся, если что, вернуться и поиграть с более простыми демонстративными примерами.
- Хорошо. - Ятиме не надо было объявлять, что урок окончен. Онона подняла руку в жесте признательности, стерла свою иконку из чащобы и очистила поле восприятия.
На миг Ятима оказалась вне всех окружений, с заглушенными каналами ввода информации, наедине с собой и мыслями. Онона знала, что полное постижение понятия кривизны так и не было нимею достигнуто. Насчитывались десятки различных путей к нему. Впрочем, онона могла быть довольна и тем, что ухватила маленький кусочек целой мозаики.
Затем она переместилась в Истинокопи.
Они представляли собой пещеру, погребенную глубоко в толще темных скал. Повсюду громоздились серые магматические минералы, наплывали и оползали темно-коричневые глины, проглядывали полоски рыжевато-красных рудовых выходов. В пол пещеры был вделан странный, светившийся тусклым светом объект: десятки порхавших туда-сюда искорок под причудливой пелериной из легких эфирных мембран. Мембраны образовывали концентрические гнездовья в форме слезинок или луковиц, напоминавшие картины Дали. Каждый ярус гнездовищ оканчивался пузырьком, в котором была уловлена единственная искорка, редко-редко - группа из двух или трех. Искорки перемещались внутри структуры, но конфигурация мембран неустанно подстраивалась так, чтобы ни одна искра не могла ускользнуть за пределы своего уровня вложенности.
В некотором смысле Истинокопи были просто еще одним индекс-окружением. Сотни тысяч специализированных срезов содержимого библиотеки были доступны разными путями - Ятима карабкалась по Эволюционному Древу, играла в классики на клетках Периодической Таблицы, прогуливалась по аллеям Времялиний, наблюдая, как развертываются по егоё прихоти истории плотчиков, глейснерианцев и граждан. Примерно пол-мегатау назад онона отважилась окунуться в Эукариотическую Клетку: каждый белок и каждый нуклеотид, каждый углевод, дрейфующий по цитоплазме, передавали широкополосные гештальт-теги, полные ссылок на все, что библиотека могла емей рассказать о молекулярной структуре, к которой относился конкретный вопрос.
В Истинокопях теги не были ссылками в привычном смысле слова: они включали в себя полные формулировки частных определений, аксиом, утверждений или теорем, представленных объектами определенного сорта. Копи были самодостаточны: каждый математический результат, полученный плотчиками и их потомками, можно было вызвать и пронаблюдать во всей полноте доказательства постадийно. Библиотечная экзегетика служила немалым подспорьем, но сами истины были все еще где-то рядом. Все истины.