Как было показано, к теории множеств можно присоединять без противоречия как саму аксиому выбора, так и ее отрицание. Это означает, что эту аксиому нельзя ни доказать, ни опровергнуть традиционными средствами математических рассуждений. Вместе с тем, чем более абстрактными являются математические объекты, попадающие в область исследования, тем в большей степени оказывается необходимой аксиома выбора. При изучении общих топологических пространств, произвольных множеств, мощностей и порядковых чисел, эта аксиома оказывается органически включенной в структуру многих построений и рассуждений.
Следствия аксиомы детерминированности, как правило, противоречат следствиям аксиомы выбора, но обычно более согласованы с естественной интуицией множеств. Аксиома детерминированности позволяет, кроме того, решить многие из тех проблем, которые не поддаются решению с помощью аксиомы выбора.
Решающим следствием в пользу принятия аксиомы детерминированности является богатство ее следствий во многих разделах теории множеств, дающих удивительно стройную и согласованную картину мира множеств. Данная аксиома пригодна не только для устранения парадоксальных множеств, даваемых аксиомой выбора, но и для построения таких примеров множеств, которые вообще нельзя получить с помощью последней.
Таким образом, аксиома выбора и аксиома детерминированности нередко порождают противоположные следствия в тех областях, где они применимы. Какую из этих двух аксиом следует принять в качестве расширения традиционной теории множеств? Развитие математических дисциплин, связанных с основаниями математики, пока не дает окончательного ответа на этот вопрос.
"Аргументированный выбор между аксиомой выбора и аксиомой детерминированности, – пишет В. Г. Кановей, – возможен, вероятно, только путем сравнения красоты и богатства теорий, построенных на этих аксиомах, а также сравнения согласованности следствий аксиомы выбора и аксиомы детерминированности со складывающейся математической интуицией". Кановей высказывает, в частности, предположение, что если аксиома детерминированности позволит построить топологическую теорию, сравнимую по красоте и богатству следствий с созданной к настоящему времени топологией на основе аксиомы выбора, то будет снято едва ли не самое серьезное препятствие на пути широкого признания аксиомы детерминированости.
Аксиома выбора и аксиома детерминированности чересчур абстрактны, чтобы можно было предположить, что они могут быть каким-то образом сопоставлены с эмпирическими данными. Данные аксиомы не входят в состав более частных математических теорий, которые могли бы быть использованы в конкретных научных теориях, допускающих сопоставление с опытом. Это заставляет предположить, что понятие истины как корреспонденции не приложимо к аксиомам выбора и детерминированности.
Вместе с тем два других истолкования истины – истина как когеренция и истина как полезность – применимы для оценки рассматриваемых аксиом. При этом согласованность и полезность являются взаимно поддерживающими друг друга свойствами рассматриваемых математических утверждений.
Согласованность и полезность не являются, однако, единственными способами обоснования данных аксиом и утверждений подобного им типа. Обычная в математике ссылка на интуицию хотя и опирается в известной степени на согласованность и полезность, является, в общем-то, независимым от них доводом. Точно так же ссылка на богатство следствий, получаемых в результате принятия одного из двух конкурирующих утверждений, как и ссылка на общий принцип, что красивая теория не способна быть ложной или что она, по меньшей мере, предпочтительнее мене совершенной в эстетическом плане теории, не являются аргументами, связанными сколько-нибудь непосредственно с истолкованием понятия истины.
Подводя итог обсуждению наиболее известных определений истины, следует, прежде всего, отметить, что они не противоречат друг другу. Вряд ли оправданно ставить вопрос так, что из трех рассмотренных определений истины следует выбрать одно, а два других отбросить как заведомо ошибочные. В реальной практике науки используется и определение истины как соответствия, и определение ее как согласия, или согласованности, и определение ее как средства, ведущего к успеху.
Необходима однако, иерархизация этих истолкований истины, отделение главного от вспомогательного, от того, что в конкретной области знания замещает главное на какой-то, возможно весьма продолжительный, промежуток времени.
С этой точки зрения несомненным преимуществом обладает классическое определение истины. Соответствие выдвигаемых идей и теорий изучаемой реальности является тем идеалом, к которому стремится каждая научная дисциплина. Далеко не всегда этот идеал достижим, особенно в науках о культуре и в формальных науках. В таких ситуациях целесообразно использовать неклассические истолкования истины, отдавая, однако, отчет в том, что они являются неизбежными в конкретных обстоятельствах паллиативами.
Что касается понимания истины как согласия и понимания ее как успеха, выбор более предпочтительного из них вряд ли возможен. Истина как согласие успешно функционирует в формальных науках, но опасна для применения в науках о культуре. В последних истина чаще истолковывается как средство, способное вести к успеху в социальной деятельности.
Иногда высказывается мнение, что системный характер научного знания делает неоправданным вопрос об истинности любого отдельно взятого утверждения. Всякое более или менее абстрактное предложение, лишь косвенно поддерживаемое непосредственным опытом, может считаться истинным только в рамках какой-то концепции или теории. За ее пределами оно просто бессмысленно, и значит, не может быть ни обосновано, ни опровергнуто.
Эта идея зависимости истинности отдельных утверждений от истинности той теории, составными элементами которой они являются, получила название "тезиса Дюэма-Куайна".
"Мы можем говорить, и говорим разумно, о том или ином предложении как истинном, – пишет американский логик и философ У. Куайн, – скорее тогда, когда мы обращаемся к положениям фактически существующей в данный момент теории, принятой хотя бы в качестве гипотезы. Осмысленно применять понятие "истинный" к такому предложению, которое сформулировано в терминах данной теории и понимается в рамках постулированной в ней реальности". Даже такие утверждения, как "Брут убил Цезаря" и "Атомный вес натрия – 23", значимы лишь относительно определенной теории. Она представляется нам настолько естественной и очевидной, что ускользает от нашего внимания.
Еще в начале прошлого века сходную идею высказывал французский философ и историк науки П. Дюэм.
Сомнительно, что защищаемая Дюэмом и Куайном крайняя позиция верна. Обоснованность утверждения во многом зависит от той системы представлений, в которую оно включено. Но эта зависимость не абсолютна. Утверждение, истинное в рамках одной теории вряд ли может стать ложным в свете какой-то иной теории. Если бы это было так, понятие истины оказалось бы вообще не приложимым к отдельным утверждениям.
Тезис Дюэма-Куайна говорит о возможности сохранения любой гипотезы путем соответствующих изменений той теоретической системы, в рамках которой она выдвигается. Как пишет Куайн, "любое высказывание способно, во что бы то ни стало, сохранять свою истинность, если мы проделаем достаточно решительную корректировку в каком-то ином разделе системы".
Опираясь на данный тезис, можно сказать, что любое произвольное утверждение теоретической системы является истинным "во что бы то ни стало": ценой соответствующих компенсирующих модификаций в теории любое из входящих в нее положений может быть сохранено перед лицом явно противоречащих ему эмпирических данных.
Убедительных доводов в поддержку тезиса Дюэма-Куайна приведено не было. Сославшись на такую гипотезу, как "На Элмстрит есть кирпичные дома", Куайн замечает, что даже это утверждение, "столь уместное в чувственном опыте… может сохранить силу перед лицом противоречащих ему переживаний с помощью защитной галлюцинации или внесения поправок в высказывания, которые именуются законами логики".
Ссылка на галлюцинацию несерьезна, аргумент о возможности изменения логики не убедителен.
Как показывает А. Грюнбаум, нельзя доказать общее положение, что теорию можно модифицировать так, чтобы любая относящаяся к ней гипотеза была непременно сохранена. Для каждого частного случая теории необходимо особое доказательство существования такой модификации.
Таким образом, системность научной теории и ее обоснования не означает, что отдельно взятое эмпирическое утверждение не способно быть истинным или ложным и что оно не может быть ни обосновано, ни опровергнуто вне рамок той теоретической системы, к которой оно принадлежит.
Прагматическое определение истины обычно подвергается критике на том основании, что человеческая практика непрерывно меняется, и то, что было, несомненно, полезным в один ее период, нередко оказывается бесполезным или даже вредным в более позднее время.