Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I стр 9.

Однако сейчас, интегрируя по поверхности счетчика, нужно быть осторожным. Пустив dS1и dS2 странствовать по всей пло­щади DS, мы бы сосчитали каждую часть площади дважды, поскольку в (2.13) входит все, что может случиться с каждой парой элементов поверхности dS1и dS2. Но интеграл можно все равно подсчитать, если учесть двукратный счет, разделив результат пополам. Тогда мы получим, что Р2для тождествен­ных бозе-частиц есть

И опять это ровно вдвое больше того, что мы получили в (2.12) для различимых частиц.

Если вообразить на мгновение, что мы откуда-то знали, что канал b уже послал свою частицу в своем направлении, то мож­но сказать, что вероятность того, что вторая частица направит­ся в ту же сторону, вдвое больше того, чего можно было бы ожи­дать, если бы мы посчитали это событие независимым. Таково уж свойство бозе-частиц. что если есть одна частица в каких-то условиях, то вероятность поставить в те же условия вторую вдвое больше, чем если бы первой там не было. Этот факт часто формулируют так: если уже имеется одна бозе-частица в данном состоянии, то амплитуда того, что туда же, ей на голову, можно будет поместить вторую, в Ц2 раз больше, чем если бы первой там не было. (Это неподходящий способ формулировать резуль­тат с той физической точки зрения, какую мы избрали, но, если это правило последовательно применять, оно все же приводит к верному результату.)

§ 3. Состояния с n бозе-частицами

Распространим наш результат на тот случай, когда имеются n частиц. Вообразим случай, изображенный на фиг. 2.4.

Фиг. 2.4. Рассеяние n частиц в близкие конечные состояния.

Есть n частиц а, b, с, . . . , которые рассеиваются в направлениях 1, 2, 3, . . . , п. Все n направлений смотрят в небольшой счет­чик, который стоит где-то поодаль. Как и в предыдущем параг­рафе, выберем нормировку всех амплитуд так, чтобы вероятность того, что каждая частица, действуя по отдельности, попадет в элемент поверхности dS счет­чика, была равна

|< >|dS.

Сперва предположим, что частицы все различимы, тогда вероятность того, что n частиц будут одновременно зарегистрированы в n разных элементах поверхности, будет равна

Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счет­чике расположен элемент dS (он считается малым), и обозна­чим их .просто а, b, с, .... Вероятность (2.15) обратится в

Прогоняя каждый элемент dS по всей поверхности DS счет­чика, получаем, что Рn(разные) - вероятность одновременно зарегистрировать n разных частиц - равна

Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик каждой из частиц по отдельности. Все они действуют незави­симо - вероятность попасть для одной из них не зависит от того, сколько других туда попало.

Теперь предположим, что все эти частицы - идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений 1, 2, 3, ... существует много неразличимых возможностей. Если бы, ска­жем, частиц было только три, появились бы следующие воз­можности:

Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц n, то будет n!разных, хотя и не отличимых друг от друга, комбина­ций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что n частиц будут зарегистрированы в n элементах поверхности, тогда будет равна

│ a1b2c3 …+ a1b3c2 … + и т. д. +│dS1 dS2 dS3... dSn. (2.18)

И снова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить а1=а2= . . . . . . =аn=а и то же сделать с b, с, . . . ; вероятность (2.18) обратится в

|n!abc ... |dS1dS2 ... dSn. (2.19)

Когда каждый элемент dS прогоняют по площади DS счет­чика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается n!раз; учтем это, разделив на n!, и получим

или

Сравнивая это с (2.17), видим, что вероятность совместного счета n бозе-частиц в n!раз больше, чем получилось бы в пред­положении, что все частицы различимы. Все это можно подыто­жить так:

Итак, вероятность в случае бозе-частиц в n!раз больше, чем вы получили бы, считая, что частицы действовали независимо. Мы лучше поймем, что это значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состоя­ние, в котором уже находятся n других частиц? Обозначим добавленную частицу буквой w. Если всего, включая w, имеется (n+1) частиц, то (2.20) обращается в

Это можно записать так:

или

Этот результат можно истолковать следующим образом. Число |w|DS - это вероятность заполучить в счетчик части­цу w, если никаких других частиц нет; Рn(бозе) - это шанс того, что там уже есть n других бозе-частиц. Значит, (2.23) говорит нам, что когда у нас уже есть n других идентичных друг другу бозе-частиц, то вероятность того, что еще одна частица придет в то же состояние, усиливается в (n+1) раз. Вероят­ность получить еще один бозон там, где уже есть их n штук, в (n+1) раз больше той, какая была бы, если бы там раньше ни­чего не было. Наличие других частиц увеличивает вероятность заполучить еще одну.

§ 4. Излучение и поглощение фотонов

Повсюду в наших рассуждениях шла речь о процессе, по­хожем на рассеяние a-частиц. Но это необязательно; можно было бы говорить и о создании частиц, например об излучении света. При излучении света "создается" фотон. В этом случае уже не нужны на фиг. 2.4 входящие линии; можно просто счи­тать, что есть n атомов а, b, с, . . . , излучающих свет (фиг. 2.5).

Фиг. 2.5. Образование n фотонов в близких состояниях.

Значит, наш результат можно сформулировать и так: вероятность того, что атом излучит фотон в некотором конечном состоянии, увеличивается в (n+1) раз, если в этом состоянии уже есть n фотонов.

Многим больше нравится высказывать этот результат иначе; они говорят, что амплитуда испускания фотона увеличи­вается в Ц(п+1) раз, если уже имеется в наличии n фотонов. Разумеется, это просто другой способ сказать то же самое, если только иметь в виду, что эту амплитуду для получения вероят­ности надо просто возвести в квадрат.

В квантовой механике справедливо в общем случае утвержде­ние о том, что амплитуда получения состояния c из любого другого состояния j комплексно сопряжена амплитуде получе­ния j из c

Мы разберемся в этом чуть позже, а пока просто предположим, что на самом деле это так. Тогда этим можно воспользоваться, чтобы понять, как фотоны рассеиваются или поглощаются из данного состояния. Мы знаем, что амплитуда того, что фотон прибавится к какому-то состоянию, скажем к i, вкотором уже находится n фотонов, равна