Глава 21
Соединения и бином
Эта глава содержит задачи по комбинаторике, а также задачи, связанные с возведением в степень двучлена ax + b. Выражение (ax + b) называют биномом Ньютона и рассматривают, как правило, его разложение в ряд по степеням x и коэффициенты этого разложения - они зависят от а и b - при различных степенях x.
Комбинаторика изучает всевозможные комбинации из элементов данного конечного множества. Простейшие из таких комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.
Перестановки состоят из одних и тех же элементов некоторого множества и отличаются одна от другой только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из n различных элементов, обозначают P(n):
P(n) = 1 · 2 · 3 · ... · n = n! (1)
Символ n! (читается "эн факториал") обозначает произведение первых n чисел натурального ряда: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ... . По определению 0! = 1.
Следующий вид комбинаций - размещения из n различных элементов, образующих множество, в группы по k различных элементов в каждой. При этом два размещения считают разными, если они отличаются либо элементами, либо порядком их расположения. Подобные ситуации возникают при размещении постояльцев в гостинице, зрителей в театральном зале, пассажиров в поезде. Число всех возможных размещений по k различных элементов в каждом размещении, формируемых из n различных элементов данного множества, обозначают Аn. Имеет место формула:
Сочетания из n элементов по k элементов - комбинации, составленные из данных n элементов и содержащие по k (k ≤ n) элементов в каждой, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом. С - число сочетаний из n по k:
Наряду с соединениями, в которые каждый из n различных элементов некоторого фиксированного множества входит один раз, можно рассматривать соединения с повторениями, допускающие появление одного и того же элемента более одного раза.
Если задан алфавит из n различных букв и поставлена задача составить всевозможные слова по k букв в каждом, то речь идет о размещениях с повторениями. Обратите внимание на то обстоятельство, что слова могут быть любой длины, а потому нет необходимости в выполнении ограничения k ≤ n. Слова aba и baa считаются различными (входящие в них элементы образуют разные последовательности).
Число 
всевозможных различных размещений с повторениями из n различных элементов по k элементов в каждом находится по формуле
Доказывается эта формула с помощью рекуррентного соотношения
которое устанавливается следующим рассуждением. Если первая буква в слове из k букв фиксирована, то в оставшиеся k − 1 ячеек можно разметить буквы 
способами. Для каждого из этих способов остается n возможностей для выбора буквы, стоящей на первом месте. В результате мы получим все размещения с повторениями из n по k.
Размещения с повторениями, образованные из n элементов a1, a2, ..., аn так, что каждый из этих элементов входит в размещение по крайней мере один раз, называются перестановками с повторениями. Если известно, что элемент a1 входит α1 раз, элемент a2 входит α2 раз, ..., элемент an входит αn раз, то число всевозможных таких перестановок обозначают 
и оно может быть найдено по формуле
Два сочетания с повторениями из n элементов по k в каждом считаются различными тогда и только тогда, когда они отличаются по крайней мере одним элементом или какой-нибудь элемент входит в эти соединения различное число раз. Число всевозможных сочетаний с повторениями определяется по формуле
вывод которой состоит в доказательстве того факта, что допущение о возможности повторений элементов равносильно увеличению числа элементов, из которых образуются сочетания, на k − 1.
Для любого натурального n справедливы разложения
Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:
21.1. Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).
21.2. Имеется одна перестановка из пяти элементов: а1, а2, а3, а4, а5. Найдите число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте стоит элемент, отличный от а1, а на втором - элемент, отличный от а2.
21.3. Сколько можно образовать семизначных чисел из цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не меньше, чем три раза?
21.4. Сколько восьмизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?
21.5. Экскурсанты заказали на пароходе 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека?
21.6. Вычислите сумму